Uma massa de 1 kg é atada a uma mola cuja a constante elástica é 16 N / m e o sistema inteiro é submerso em um líquido que oferece uma força de amortecimento (em Newtons) numericamente igual a 10 vezes a velocidade instantânea da massa (em m/s). Determine as equações do movimento (i.e. a posição da massa em qualquer instante) quando:
a) a massa parte do repouso a um ponto 1 m abaixo da posição de equilíbrio;
b) a massa parte de um ponto 1 m abaixo da posição de equilíbrio com velocidade 12 m / s para baixo.

Passo 1

O sistema é uma massa de m=1 kg ligada a uma mola de constante k=16 N/m, sujeita a uma força de amortecimento proporcional à velocidade com coeficiente c=10 Ncdot s/m. Vamos tomar x(t) como o deslocamento instantâneo a partir da posição de equilíbrio, positivo para baixo. Precisamos montar a equação diferencial de 2ª ordem e resolver para x(t).

Passo 2

Pela 2ª lei de Newton,
m,x'' + c,x' + k,x = 0
fica
x''(t) + 10,x'(t) + 16,x(t) = 0

Passo 3

A equação característica é
r^2 + 10,r + 16 = 0
Calculando as raízes,
r = -10 pm raiz100 - 642 = -10 pm 62,
logo r1 = -2 e r2 = -8. Como são reais e distintos, o sistema é superamortecido e a solução geral é
x(t) = C1 e^-2t + C2 e^-8t

Passo 4

Caso (a): iniciais x(0)=1 m ( 1 m abaixo do equilíbrio) e x'(0)=0.
Aplicando
x(0)=C1 + C2 = 1,
x'(0)=-2C1 - 8C2 = 0
Resolvendo, obtém-se C1=tfrac43, C2=-tfrac13. Logo
xa(t) = 43,e^-2t ;-;13,e^-8t

Passo 5

Caso (b): iniciais x(0)=1 m e x'(0)=12 m/s (para baixo).
Aplicando
C1 + C2 = 1,
-2C1 - 8C2 = 12,
vem C1=tfrac103, C2=-tfrac73. Portanto
xb(t) = 103,e^-2t ;-;73,e^-8t

Resposta

(a) x(t)=43e^-2t-13e^-8t
(b) x(t)=103e^-2t-73e^-8t

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