Uma massa de 1 kg é atada a uma mola cuja a constante elástica é
e o sistema inteiro é submerso em um líquido que oferece uma força de amortecimento (em Newtons) numericamente igual a 10 vezes a velocidade instantânea da massa (em m/s). Determine as equações do movimento (i.e. a posição da massa em qualquer instante) quando:
a) a massa parte do repouso a um ponto 1 m abaixo da posição de equilíbrio;
b) a massa parte de um ponto 1 m abaixo da posição de equilíbrio com velocidade
para baixo.
a) a massa parte do repouso a um ponto 1 m abaixo da posição de equilíbrio;
b) a massa parte de um ponto 1 m abaixo da posição de equilíbrio com velocidade
Passo 1
O sistema é uma massa de
kg ligada a uma mola de constante
N/m, sujeita a uma força de amortecimento proporcional à velocidade com coeficiente
/m. Vamos tomar
como o deslocamento instantâneo a partir da posição de equilíbrio, positivo para baixo. Precisamos montar a equação diferencial de
ª ordem e resolver para
.
Passo 2
Pela
ª lei de Newton,
fica
Passo 3
A equação característica é
Calculando as raízes,
logo
e
. Como são reais e distintos, o sistema é superamortecido e a solução geral é
Passo 4
Caso (a): iniciais
m (
m abaixo do equilíbrio) e
.
Aplicando
Aplicando
Resolvendo, obtém-se
,
. Logo
Passo 5
Caso (b): iniciais
m e
m/s (para baixo).
Aplicando
Aplicando
vem
,
. Portanto
Resposta
(a)
(b)
(b)