A uma mola de constante elástica
é atada uma massa de 1 kg . A massa sofre ação de uma força externa de
N. Se a massa é colocada em movimento de sua posição de equilíbrio e com velocidade inicial zero, determine:
a) qual o problema de valor inicial que descreve o movimento da massa;
b) qual é a solução do problema de valor inicial para
;
c) qual é o comportamento da solução obtida em b) quando
;
d) o que acontece com a solução obtida em b) quando consideramos valores de
cada vez mais próximos de 1;
e) qual é a solução do problema de valor inicial para
e esboce o gráfico da solução. Essa situação é denominada ressonância pois a força externa tem a mesma frequência das oscilações naturais do sistema.
a) qual o problema de valor inicial que descreve o movimento da massa;
b) qual é a solução do problema de valor inicial para
c) qual é o comportamento da solução obtida em b) quando
d) o que acontece com a solução obtida em b) quando consideramos valores de
e) qual é a solução do problema de valor inicial para
Passo 1
Resumindo: temos uma massa
,kg presa a uma mola de constante ele1stica
,N/m, sujeita e0 fore7a externa
. A equae7e3o do movimento (segunda lei de Newton) e9
com condie7f5es iniciais
e
. O contefado e9 EDO linear de segunda ordem com fore7amento harmf4nico.
Passo 2
Escrevendo o problema de valor inicial para o caso geral:
Passo 3
Para
, a solução geral é soma da homogênea e de uma particular.
A homogênea:
A homogênea:
Procuramos
. Substituindo em
dá
Logo
Impondo
e
, obtemos
Passo 4
Para
, a solução
é combinação de dois cossenos de frequências diferentes. Como não há amortecimento, não há decaimento:
permanece limitado e oscila perpetuamente com “batimentos” (beats).
Passo 5
Quando
, o fator
cresce sem limite, ou seja, a amplitude das oscilações torna-se arbitrariamente grande — característica do fenômeno de ressonância.
Passo 6
No caso exato de ressonância
, resolvemos
Tentamos um particular da forma
. Calcula-se
A solução geral é
Aplicando
e
dá
. Logo
cujo gráfico é uma senoide com amplitude que cresce linearmente em
, confirmando a ressonância.
Resposta
a)
b) Para
:
c) Essa solução é limitada e oscila continuamente (não decai), mostrando batimentos.
d) À medida que , o denominador
tende a zero e a amplitude diverge
ressonância.
e) Para :
d) À medida que
e) Para
que cresce sem limite em amplitude (gráfico: senoide cuja envoltória é
).