A uma mola de constante elástica 1 N / m é atada uma massa de 1 kg . A massa sofre ação de uma força externa de 3 cos (omega t) N. Se a massa é colocada em movimento de sua posição de equilíbrio e com velocidade inicial zero, determine:
a) qual o problema de valor inicial que descreve o movimento da massa;
b) qual é a solução do problema de valor inicial para omega neq 1;
c) qual é o comportamento da solução obtida em b) quando t infty;
d) o que acontece com a solução obtida em b) quando consideramos valores de omega cada vez mais próximos de 1;
e) qual é a solução do problema de valor inicial para omega=1 e esboce o gráfico da solução. Essa situação é denominada ressonância pois a força externa tem a mesma frequência das oscilações naturais do sistema.

Passo 1

Resumindo: temos uma massa m=1,kg presa a uma mola de constante ele1stica k=1,N/m, sujeita e0 fore7a externa Frm ext(t)=3cos(omega t). A equae7e3o do movimento (segunda lei de Newton) e9
m,y'' + k,y = Frm ext(t),
com condie7f5es iniciais y(0)=0 e y'(0)=0. O contefado e9 EDO linear de segunda ordem com fore7amento harmf4nico.

Passo 2

Escrevendo o problema de valor inicial para o caso geral:
y'' + y = 3cos(omega t), y(0)=0, y'(0)=0

Passo 3

Para omeganeq1, a solução geral é soma da homogênea e de uma particular.
A homogênea:
yh = Ccos t + Dsin t
Procuramos yp = Acos(omega t). Substituindo em y''+y=3cos(omega t)
(-Aomega^2 + A)cos(omega t) = 3cos(omega t) Longrightarrow A = 31-omega^2
Logo
y(t) = Ccos t + Dsin t + 31-omega^2cos(omega t)
Impondo y(0)=0Rightarrow C + tfrac31-omega^2=0 e y'(0)=0Rightarrow D=0, obtemos
y(t) = 31-omega^2,l(cos(omega t)-cos tr)

Passo 4

Para omeganeq1, a solução
y(t) = 31-omega^2,l(cos(omega t)-cos tr)
é combinação de dois cossenos de frequências diferentes. Como não há amortecimento, não há decaimento: y(t) permanece limitado e oscila perpetuamente com “batimentos” (beats).

Passo 5

Quando omegato1, o fator 31-omega^2 cresce sem limite, ou seja, a amplitude das oscilações torna-se arbitrariamente grande — característica do fenômeno de ressonância.

Passo 6

No caso exato de ressonância omega=1, resolvemos
y''+y=3cos t
Tentamos um particular da forma yp = A,tsin t. Calcula-se
yp''+yp = 2Acos t = 3cos t ;Longrightarrow; A=32
A solução geral é
y(t)=Ccos t + Dsin t + tfrac32,tsin t
Aplicando y(0)=0 e y'(0)=0 C=D=0. Logo
y(t)=32,tsin t,
cujo gráfico é uma senoide com amplitude que cresce linearmente em t, confirmando a ressonância.

Resposta

a)
y'' + y = 3cos(omega t), y(0)=0, y'(0)=0
b) Para omeganeq1:
y(t)=31-omega^2,l(cos(omega t)-cos tr)
c) Essa solução é limitada e oscila continuamente (não decai), mostrando batimentos.
d) À medida que omegato1, o denominador 1-omega^2 tende a zero e a amplitude diverge to ressonância.
e) Para omega=1:
y(t)=32,tsin t,
que cresce sem limite em amplitude (gráfico: senoide cuja envoltória é pm32,t).

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