Em cada um dos itens abaixo é dada uma EDO linear não-homogênea e uma solução y1 da equação homogênea associada. Determine em cada caso a solução geral da equação dada.
t y^prime prime-(1+t) y^prime+y=t^2 e^2 t, t>0, y1(t)=e^t;

Passo 1

O enunciado dá a EDO linear não-homogênea
t,y''-(1+t),y'+y=t^2e^2t, t>0,
e informa uma solução da homogênea associada ,y1(t)=e^t.
Conteúdo: EDO de segunda ordem, coeficientes variáveis. Vamos achar a segunda solução da homogênea por redução de ordem e depois uma solução particular por coeficientes a determinar.

Passo 2

Para aplicar redução de ordem, primeiro escrevemos em forma padrão dividindo por t:
y''-1+tt,y'+1t,y=t,e^2t
Aqui
p(t)=-1+tt, q(t)=1t

Passo 3

Na redução de ordem, a segunda solução é
y2 = y1 integral expl(-integral p(t),dtr)y1^2,dt
Calculamos
integral p(t),dt = integral l(-1t - 1r),dt = -ln t - t,
expl(-!integral p,dtr) = e^ln t + t = t , e^t,
e como y1^2 = e^2t temos integrando
integral t , e^te^2t , dt = integral t , e^-t , dt = -(t + 1) e^-t + C
Logo até constante multipla-r que se absorve em C2,
y2(t) = e^t l(-(t + 1) e^-tr) = -(t + 1)

Passo 4

A solução geral da homogênea é
yc=C1e^t+C2(t+1)

Passo 5

Para a particular, usamos o método dos coeficientes a determinar. Como o termo não-homogêneo é t^2e^2t, tentamos
yp=e^2tP(t), P(t)=A t^2+Bt+C

Passo 6

Calculamos
yp'=e^2t(P'+2P), yp''=e^2t(P''+4P'+4P),
e inserimos em
t,y''-(1+t)y'+y=t^2e^2t
Fazendo as contas (agrupando por potências de t) obtemos o sistema para A,B,C:
2A=0, 5A+2B=1, 2B+2C=0, -B-C=0,
cuja solução é
A=0, B=tfrac12, C=-tfrac12
Assim
yp=e^2tl(tfrac12t-tfrac12r)=t-12,e^2t

Passo 7

A solução geral da EDO não-homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y=C1e^t+C2(t+1)+t-12,e^2t

Resposta

boxedy(t)=C1e^t+C2,(t+1)+t-12,e^2t, t>0

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