Em cada um dos itens abaixo é dada uma EDO linear não-homogênea e uma solução
da equação homogênea associada. Determine em cada caso a solução geral da equação dada.
;
Passo 1
O enunciado dá a EDO linear não-homogênea
e informa uma solução da homogênea associada
.
Conteúdo: EDO de segunda ordem, coeficientes variáveis. Vamos achar a segunda solução da homogênea por redução de ordem e depois uma solução particular por coeficientes a determinar.
Conteúdo: EDO de segunda ordem, coeficientes variáveis. Vamos achar a segunda solução da homogênea por redução de ordem e depois uma solução particular por coeficientes a determinar.
Passo 2
Para aplicar redução de ordem, primeiro escrevemos em forma padrão dividindo por
:
Aqui
Passo 3
Na redução de ordem, a segunda solução é
Calculamos
e como
temos integrando
Logo até constante multipla-r que se absorve em
,
Passo 4
A solução geral da homogênea é
Passo 5
Para a particular, usamos o método dos coeficientes a determinar. Como o termo não-homogêneo é
, tentamos
Passo 6
Calculamos
e inserimos em
Fazendo as contas (agrupando por potências de
) obtemos o sistema para
:
cuja solução é
Assim
Passo 7
A solução geral da EDO não-homogênea é a soma da homogênea com a particular: