7- Uma massa de 2 kg é presa a uma mola pendurada no teto, fazendo com que a mola se estique 20 cm ao descer até o repouso no equilibrio. No instante
, a massa é deslocada 5 cm abaixo da posição de equilíbrio e largada. Nesse mesmo instante, uma força externa
é aplicada ao sistema. Se a constante de amortecimento é
, determine a equação do movimento para a massa. Qual é a frequência de ressonância para o sistema?
Passo 1
O problema envolve um sistema massa-mola com amortecimento e força externa. Os dados são:
– massa
– extensão estática sob o peso
,
– amortecimento ,
– força externa ,
– no instante temos
(abaixo do equilíbrio) e
.
Vamos montar a EDO, achar a solução geral por superposição da parte homogênea e particular, aplicar as condições iniciais e, por fim, determinar a frequência de ressonância.
– massa
– extensão estática
– amortecimento
– força externa
– no instante
Vamos montar a EDO, achar a solução geral por superposição da parte homogênea e particular, aplicar as condições iniciais e, por fim, determinar a frequência de ressonância.
Passo 2
Do equilíbrio estático vem
A equação de movimento é
isto é
Passo 3
A parte homogênea satisfaz
A equação caracterísica é
Logo a solução homogênea é
Passo 4
Procuramos uma particular da forma
. Substituindo em
e igualando coeficientes de
e
obtém-se
Logo
Passo 5
A solução geral é
Impondo
e
determina-se
Portanto
Passo 6
A frequência de ressonância para o sistema fracamente amortecido é
Assim
Resposta
A equação do movimento é
A frequência de ressonância é