7- Uma massa de 2 kg é presa a uma mola pendurada no teto, fazendo com que a mola se estique 20 cm ao descer até o repouso no equilibrio. No instante l=0, a massa é deslocada 5 cm abaixo da posição de equilíbrio e largada. Nesse mesmo instante, uma força externa F(t)=0,3 cos t N é aplicada ao sistema. Se a constante de amortecimento é 5 N-s / m, determine a equação do movimento para a massa. Qual é a frequência de ressonância para o sistema?

Passo 1

O problema envolve um sistema massa-mola com amortecimento e força externa. Os dados são:
– massa m=2 kg
– extensão estática 0,20 m sob o peso mg,
– amortecimento c=5 Ncdot s/m,
– força externa F(t)=0,3cos t N,
– no instante t=0 temos x(0)=0,05 m (abaixo do equilíbrio) e x'(0)=0.
Vamos montar a EDO, achar a solução geral por superposição da parte homogênea e particular, aplicar as condições iniciais e, por fim, determinar a frequência de ressonância.

Passo 2

Do equilíbrio estático vem
mg = k,De<a x Longrightarrow k = mg0,20 = 2cdot9,80,20 = 98 N/m
A equação de movimento é
m,x'' + c,x' + k,x = F(t),
isto é
2,x'' +5,x' +98,x = 0,3cos t

Passo 3

A parte homogênea satisfaz
2,x'' +5,x' +98,x =0
A equação caracterísica é
2r^2 +5r +98 =0 Longrightarrow r = -5pmraiz5^2 -4cdot2cdot982cdot2 = -1,25pm i,6,887
Logo a solução homogênea é
xh(t) = e^-1,25tl(C1cos(6,887,t)+C2sin(6,887,t)r)

Passo 4

Procuramos uma particular da forma xp(t)=alphacos t+betasin t. Substituindo em
2x''+5x'+98x=0,3cos t
e igualando coeficientes de cos t e sin t obtém-se
alpha = 0,3,(98-2)(98-2)^2 + (5cdot1)^2 = 0,3cdot9696^2+5^2 approx0,003116,
beta = 0,3cdot5cdot196^2+5^2 approx0,0001623
Logo
xp(t)=0,003116cos t +0,0001623sin t

Passo 5

A solução geral é
x(t)=xh(t)+xp(t)
Impondo x(0)=0,05 e x'(0)=0 determina-se
C1 =0,046884, C2 =0,008486
Portanto
x(t) = e^-1,25tl(0,046884cos(6,887t)+0,008486sin(6,887t)r) +0,003116cos t+0,0001623sin t

Passo 6

A frequência de ressonância para o sistema fracamente amortecido é
omegarm res =raizomega0^2-2gamma^2 com omega0=raizkm=7, gamma=c2m=1,25
Assim
omegarm res = raiz7^2 -2,(1,25)^2 approx6,77 rad/s

Resposta

A equação do movimento é
x(t) = e^-1,25tl(0,046884cos(6,887t)+0,008486sin(6,887t)r) +0,003116cos t+0,0001623sin t
A frequência de ressonância é omegarm resapprox6,77 rad/s

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