Mostre, a partir da definição de integral (limite da soma de Riemann), que:
integral0^b x d x=b^22

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de integral como limite de soma de Riemann, que
integral0^b x,dx = b^22
O que vamos usar: partição uniforme de [0,b], soma de Riemann com pontos direitos, a fórmula da soma sumi=1^ni e o limite ntoinfty.

Passo 2

Particionamos [0,b] em n subintervalos iguais de largura
De<a x = bn
Os nós são
xi = i,bn, i=0,1,dots,n
Para a soma de Riemann, tomamos os pontos de amostragem xi^* = xi (extremos direitos), i=1,dots,n.

Passo 3

A soma de Riemann é
Sn = sumi=1^n f(xi^*),De<a x = sumi=1^n xi,bn = sumi=1^n l(i,bnr)bn = b^2n^2sumi=1^ni

Passo 4

Usando
sumi=1^ni = n(n+1)2,
segue
Sn = b^2n^2cdotn(n+1)2 = b^22,n+1n

Passo 5

Fazendo ntoinfty, o fator n+1nto1. Portanto
integral0^b x,dx = limntoinfty Sn = b^22

Resposta

b^22

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