Mostre, a partir da definição de integral (limite da soma de Riemann), que:
integrala^b(m x+n) d x=m2(b^2-a^2)+n(b-a)

Passo 1

O enunciado pede que, a partir da definição de integral como limite de soma de Riemann, mostremos que
integrala^b(m x+n),dx=m2l(b^2-a^2r)+n(b-a)
Para isso, vamos considerar uma partição uniforme de [a,b] e calcular a soma de Riemann correspondente à função f(x)=m x+n.

Passo 2

Seja N um inteiro positivo e defina uma partição uniforme de [a,b] por
a=x0<x1<cdots<xN=b,
com
De<a x = b-aN,
e escolha como ponto de amostragem o ponto direito de cada subintervalo:
xi = a + i,De<a x, i=1,2,dots,N
A soma de Riemann associada é
SN = sumi=1^N f(xi),De<a x

Passo 3

Substituindo f(xi)=m xi+n na soma de Riemann, obtemos
SN = sumi=1^Nl(m xi+nr),De<a x = msumi=1^Nxi,De<a x ;+; nsumi=1^NDe<a x

Passo 4

Calculemos separadamente as somas:
sumi=1^Nxi = sumi=1^Nl(a + i,De<a xr) = N,a ;+;De<a xsumi=1^Ni = N,a ;+;De<a x,N(N+1)2
Além disso,
sumi=1^NDe<a x = N,De<a x
Logo
SN = ml(N,a,De<a x + De<a x^2,N(N+1)2r) + n,N,De<a x

Passo 5

Agora fazemos Ntoinfty, lembrando que De<a x=(b-a)/N:
N,a,De<a x = a(b-a),
De<a x^2,N(N+1)2 = (b-a)^22,l(1+1Nr) ;xrightarrow[Ntoinfty]; (b-a)^22,
N,De<a x = b-a
Portanto
limNtoinftySN = ml(a(b-a)+(b-a)^22r) + n(b-a)
Bastou reescrever
a(b-a)+(b-a)^22 = 2a(b-a)+(b-a)^22 = b^2-a^22
para obter o resultado desejado.

Resposta

integrala^b(m x+n),dx = m2l(b^2-a^2r) + n(b-a)

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