Mostre, a partir da definição de integral (limite da soma de Riemann), que:
integrala^b(x^2+1) d x=b^3-a^33+(b-a)

Passo 1

Queremos mostrar, usando a definição de integral como limite de soma de Riemann, que
integrala^bl(x^2+1r),dx = b^3-a^33 + (b-a)
Para isso vamos:
– Particionar o intervalo [a,b] uniformemente em n subintervalos;
– Escolher pontos de amostragem à direita de cada subintervalo;
– Escrever a soma de Riemann e usar as fórmulas conhecidas de sumi=1^ni e sumi=1^ni^2;
– Tomar o limite ntoinfty.

Passo 2

Seja De<a x = b-an o comprimento de cada subintervalo e xi = a + i,De<a x o ponto de amostragem à direita no i-ésimo subintervalo. Pela definição,
integrala^bl(x^2+1r),dx = limntoinfty Sn,
onde
Sn = sumi=1^nl(xi^2+1r),De<a x

Passo 3

Substituindo xi=a + i,De<a x em Sn, obtemos
Sn = sumi=1^nl((a + i,De<a x)^2 + 1r),De<a x = sumi=1^nl(a^2 + 2a,i,De<a x + i^2,De<a x^2 + 1r),De<a x

Passo 4

Separamos a soma em três parcelas:
Sn = underbracesumi=1^n(a^2+1),De<a x(a^2+1),n,De<a x ;+;underbracesumi=1^n2a,i,De<a x,De<a x2a,De<a x^2,sumi=1^ni ;+;underbracesumi=1^ni^2,De<a x^2,De<a xDe<a x^3,sumi=1^ni^2

Passo 5

Usamos as fórmulas
sumi=1^ni = n(n+1)2, sumi=1^ni^2 = n(n+1)(2n+1)6,
e lembramos que De<a x = b-an. Então:
  1. (a^2+1),n,De<a x = (a^2+1),(b-a)
  2. 2a,De<a x^2,sumi=1^ni = 2a;(b-a)^2n^2;n(n+1)2 = a,(b-a)^2,n+1n
  3. De<a x^3,sumi=1^ni^2 = (b-a)^3n^3;n(n+1)(2n+1)6 = (b-a)^36,(n+1)(2n+1)n^2
Logo,
Sn = (a^2+1)(b-a) + a,(b-a)^2,n+1n + (b-a)^36,(n+1)(2n+1)n^2

Passo 6

Tomando o limite ntoinfty:
limntoinftya,(b-a)^2,n+1n = a,(b-a)^2, limntoinfty(b-a)^36,(n+1)(2n+1)n^2 = (b-a)^33
Então
integrala^bl(x^2+1r),dx = (a^2+1)(b-a) + a,(b-a)^2 + (b-a)^33
Agrupando os termos quadráticos e cúbicos em b-a, reconhecemos
(a^2+1)(b-a) + a,(b-a)^2 + (b-a)^33 = b^3-a^33 + (b-a)

Resposta

integrala^bl(x^2+1r),dx = b^3-a^33 + (b-a)

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