4- Uma massa de 1 / 4 kg é presa a uma mola com rigidez de 8 N / m. A constante de amortecimento para o sistema é de 1 / 4 N-s / m. Se a massa for movida um metro para a esquerda do equilibrio e liberada, qual é o deslocamento máximo para a direita que ela alcançará?

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa-mola-amortecedor com massa m=tfrac14 kg, constante da mola k=8 N/m e amortecimento c=tfrac14 N·s/m. A massa é deslocada 1 m para a esquerda do ponto de equilíbrio (ou seja x(0)=-1) e liberada sem velocidade inicial ( x'(0)=0). Queremos achar o deslocamento máximo para a direita, isto é o primeiro valor positivo de x(t) num ponto de inversão de movimento.

Passo 2

Escrevemos a equação diferencial linear homogênea
m,x''+c,x'+k,x=0
ou seja
tfrac14,x''+tfrac14,x'+8,x=0
Dividindo por m obtemos
x''+underbracecm=;2gamma,x'+underbracekm=;omega0^2,x=0
com gamma=tfracc2m=tfrac12 e omega0=raiztfrackm=4raiz2.

Passo 3

Vemos que gamma^2=tfrac14 é muito menor que omega0^2=32, então o sistema é subamortecido e a solução geral é
x(t)=e^-gamma tl(Ccos(omegadt)+Dsin(omegadt)r),
onde
omegad=raizomega0^2-gamma^2 =raiz32-tfrac14=tfracraiz1272

Passo 4

Impondo x(0)=-1 e x'(0)=0 achamos
x(0)=C=-1,
para a derivada usamos
x'(t)=e^-gamma tl[-gamma(Ccosomegadt+Dsinomegadt) +(-Comegadsinomegadt+Domegadcosomegadt)r]
Em t=0:
0=x'(0)=-gamma C+Domegad Longrightarrow D=gamma Comegad =-1/2raiz127/2=-1raiz127

Passo 5

Os instantes de inversão (extremos) satisfazem x'(t)=0, o que leva a
tan(omegadt)=gamma C - Domegadgamma D + Comegad
Substituindo C=-1, D=-1/raiz127, gamma=1/2, omegad=raiz127/2 achamos tan(omegadt)=0. O primeiro instante positivo é
t1=piomegad =piraiz127/2 =2piraiz127
Nesse tempo
x(t1) =e^-gamma t1l(-cos(pi)-tfrac1raiz127sin(pi)r) =e^-,12cdot2piraiz127,(1) =e^-,piraiz127

Resposta

O deslocamento máximo para a direita é
xmax=e^-piraiz127 rm mapprox0,757 rm m

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