Determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty k sen^2 k1+k^3

Passo 1

O enunciado pede para a gente decidir se a série sumk=1^infty k,sin^2k1+k^3 converge ou diverge. O conteúdo é séries numéricas e vamos precisar usar o teste de comparação com uma p-série.

Passo 2

A ideia é notar que 0<=sin^2k<=1 para todo k. Assim temos
0<= k,sin^2k<= k
e, portanto, para o termo geral ak=k,sin^2k1+k^3, vale
ak=k,sin^2k1+k^3<=k1+k^3<=kk^3=1k^2

Passo 3

Como sumk=1^infty1k^2 é uma p-série com p=2>1, ela converge. E como 0<= ak<=1/k^2 para todo k, pelo teste de comparação direta a série original também converge.

Passo 4

Portanto concluímos que sumk=1^infty k,sin^2k1+k^3 converge (convergência absoluta).

Resposta

A série converge por comparação com a p-série de expoente 2.

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