Uma massa de 5 kg produz um alongamento de 10 cm numa mola. A massa está sob a ação de uma força externa de 10 sen(t / 2) N e se move em um meio que impõe uma força viscosa de 2 N quando a velocidade da massa é 4 cm / s. Se a força externa dada for substituída por uma força 2 cos omega t de frequência omega determine o valor de omega para que a amplitude da resposta forçada seja máxima. Assumir aceleração da gravidade igual a 10 m / s^2.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma massa de 5 kg que estica uma mola em 10 cm. Inicialmente, a massa está sujeita a uma força externa 10 sin(t / 2) , N e uma força viscosa que depende da velocidade. Queremos substituir a força externa por 2 cos omega t e encontrar o valor de omega que faz com que a amplitude da resposta forçada seja máxima. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas massa-mola com amortecimento e entender como a frequência da força externa afeta a amplitude da oscilação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a constante da mola ( k). Sabemos que a mola é esticada em 10 cm (0,10 m) por uma massa de 5 kg sob a gravidade ( g = 10 , m/s^2). A força exercida pela massa é o peso:
F = m cdot g = 5 , kg times 10 , m/s^2 = 50 , N
Segundo a Lei de Hooke:
F = k cdot x implies k = Fx = 50 , N0,10 , m = 500 , N/m

Passo 3

Agora, vamos determinar o coeficiente de amortecimento ( c). A questão diz que a força viscosa é de 2 N quando a velocidade é de 4 cm/s (0,04 m/s). A força viscosa é dada por:
Fv = c cdot v implies c = Fvv = 2 , N0,04 , m/s = 50 , kg/s

Passo 4

Com a constante da mola e o coeficiente de amortecimento, podemos escrever a equação do movimento para um sistema massa-mola-amortecedor sujeito a uma força externa F(t) = 2 cos omega t:
m ddotx + c dotx + k x = F(t)
Substituindo os valores:
5 ddotx + 50 dotx + 500 x = 2 cos omega t

Passo 5

Para encontrar a amplitude máxima da resposta forçada, precisamos determinar a frequência de ressonância. Em sistemas com amortecimento, a frequência de ressonância ( omegar) é dada por:
omegar = raizkm - ( c2m )^2
Vamos calcular cada termo:
km = 5005 = 100 , rad^2/s^2
c2m = 502 times 5 = 5 , s^-1
Então,
( c2m )^2 = 25 , rad^2/s^2

Passo 6

Agora, substituímos na fórmula da frequência de ressonância:
omegar = raiz100 - 25 = raiz75 approx 8,66 , rad/s

Resposta

O valor de omega para que a amplitude da resposta forçada seja máxima é aproximadamente 8,66 , rad/s.

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