Uma massa de 5 kg produz um alongamento de 10 cm numa mola. A massa está sob a ação de uma força externa de
e se move em um meio que impõe uma força viscosa de 2 N quando a velocidade da massa é
. Se a força externa dada for substituída por uma força
de frequência
determine o valor de
para que a amplitude da resposta forçada seja máxima. Assumir aceleração da gravidade igual a
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma massa de 5 kg que estica uma mola em 10 cm. Inicialmente, a massa está sujeita a uma força externa
e uma força viscosa que depende da velocidade. Queremos substituir a força externa por
e encontrar o valor de
que faz com que a amplitude da resposta forçada seja máxima. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas massa-mola com amortecimento e entender como a frequência da força externa afeta a amplitude da oscilação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a constante da mola (
). Sabemos que a mola é esticada em 10 cm (0,10 m) por uma massa de 5 kg sob a gravidade (
). A força exercida pela massa é o peso:
Segundo a Lei de Hooke:
Passo 3
Agora, vamos determinar o coeficiente de amortecimento (
). A questão diz que a força viscosa é de 2 N quando a velocidade é de 4 cm/s (0,04 m/s). A força viscosa é dada por:
Passo 4
Com a constante da mola e o coeficiente de amortecimento, podemos escrever a equação do movimento para um sistema massa-mola-amortecedor sujeito a uma força externa
:
Substituindo os valores:
Passo 5
Para encontrar a amplitude máxima da resposta forçada, precisamos determinar a frequência de ressonância. Em sistemas com amortecimento, a frequência de ressonância (
) é dada por:
Vamos calcular cada termo:
Então,
Passo 6
Agora, substituímos na fórmula da frequência de ressonância:
Resposta
O valor de
para que a amplitude da resposta forçada seja máxima é aproximadamente
.