Resolva as seguintes integrais indefinidas:
integral 4 x cdot ln x d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos resolver a integral indefinida integral 4 x cdot ln x , dx. Esse problema faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais por partes. Para resolver, vamos aplicar essa técnica.

Passo 2

Vamos começar fatorando a constante 4 para simplificar a integral:
integral 4 x cdot ln x , dx = 4 integral x cdot ln x , dx

Passo 3

Agora, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u e dv. Geralmente, escolhemos u como a função que fica mais simples ao derivar. Aqui, vamos escolher:
u = ln x Rightarrow du = 1x , dx
E:
dv = x , dx Rightarrow v = x^22

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x cdot ln x , dx = u cdot v - integral v cdot du
Substituindo os valores de u, v e du:
= ln x cdot x^22 - integral x^22 cdot 1x , dx

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da integral:
= x^22 ln x - integral x2 , dx

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral restante:
integral x2 , dx = 12 cdot x^22 = x^24

Passo 7

Substituindo de volta na expressão original:
x^22 ln x - x^24 + C
Lembrando que inicialmente fatoramos o 4, multiplicamos tudo por 4:
4 ( x^22 ln x - x^24 ) + C = 2 x^2 ln x - x^2 + C

Resposta

A integral é igual a 2 x^2 ln x - x^2 + C, onde C é a constante de integração.

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