Uma massa pesando 8 libras alonga uma mola em 2 pés. Supondo que uma força amortecedora igual a duas vezes a velocidade instantânea aja sobre o sistema, determine a equação do movimento se o peso for inicialmente solto da posição de equilibrio a uma velocidade inicial de 3 pés/s para cima.
Passo 1
No enunciado temos uma massa de peso 8 libras que, sob o peso de repouso, estica a mola em 2 pés. Há amortecimento proporcional à velocidade com coeficiente 2. Lançamos o sistema a partir da posição de equilíbrio (deslocamento zero) com velocidade inicial de 3 ft/s para cima. O conteúdo é EDO linear de 2ª ordem para sistema massa-mola amortecido.
Passo 2
Para usar a EDO padrão, calculamos primeiro a massa
e a constante da mola
. Como
com
ft/s² e o peso estica a mola em
ft, temos
O amortecimento é dado por
Passo 3
Substituindo os valores de
obtemos
Passo 4
Multiplicando por 4 para simplificar, chega-se a
Passo 5
A equação característica é
, que tem raiz dupla
. Assim a solução geral é
Passo 6
Como o corpo parte da posição de equilíbrio,
dá
. A velocidade inicial para cima de 3 ft/s corresponde a
(pois adotamos para baixo positivo). Calculando
e impondo
leva a
.