Uma massa pesando 8 libras alonga uma mola em 2 pés. Supondo que uma força amortecedora igual a duas vezes a velocidade instantânea aja sobre o sistema, determine a equação do movimento se o peso for inicialmente solto da posição de equilibrio a uma velocidade inicial de 3 pés/s para cima.

Passo 1

No enunciado temos uma massa de peso 8 libras que, sob o peso de repouso, estica a mola em 2 pés. Há amortecimento proporcional à velocidade com coeficiente 2. Lançamos o sistema a partir da posição de equilíbrio (deslocamento zero) com velocidade inicial de 3 ft/s para cima. O conteúdo é EDO linear de 2ª ordem para sistema massa-mola amortecido.

Passo 2

Para usar a EDO padrão, calculamos primeiro a massa m e a constante da mola k. Como P=m g com g=32 ft/s² e o peso estica a mola em de ft, temos
m=Pg=832=tfrac14e k=Pde
O amortecimento é dado por c=2. A EDO do movimento com sinal positivo para o deslocamento para baixo é
m x''+c x'+k x=0

Passo 3

Substituindo os valores de m,c,k obtemos
tfrac14 x''+2x'+4x=0

Passo 4

Multiplicando por 4 para simplificar, chega-se a
x''+8x'+16x=0

Passo 5

A equação característica é r^2+8r+16=0, que tem raiz dupla r=-4. Assim a solução geral é
x(t)=(C1+C2 t)e^-4t

Passo 6

Como o corpo parte da posição de equilíbrio, x(0)=0 C1=0. A velocidade inicial para cima de 3 ft/s corresponde a x'(0)=-3 (pois adotamos para baixo positivo). Calculando x'(t) e impondo x'(0)=-3 leva a C2=-3.

Resposta

x(t)=-3t,e^-4t

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