Uma massa, ligada a uma corda de comprimento 1,20 m, é solta do repouso e se move até encontrar o prego fixo em P(d=75,0 cm ). Qual é a velocidade da bola (a) quando ela atinge o ponto mais baixo da sua trajetória e (b) quando ela atinge o ponto mais alto, depois de a corda ficar presa no prego? © Mostre que, se a massa der uma volta circular completa de raio r em torno do prego, então d>3 L / 5. Dica: o valor mínimo da tensão no topo da volta circular é zero.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que rolou:
– Enunciado: temos uma massa presa a uma corda de comprimento . Ela é largada do repouso (imagine a corda na horizontal) e balança até que, na descida, a corda “engata” num prego que está a uma distância abaixo do pivô. A partir daí a bola passa a girar em torno do prego com raio .
– O que a gente precisa calcular:
(a) velocidade da bola ao chegar no ponto mais baixo antes de pegar o prego;
(b) velocidade dela no ponto mais alto do “segundo” círculo (em torno do prego);
© mostrar que, para a bola dar a volta completa nesse círculo de raio , precisa valer .
– Matéria envolvida: energia mecânica (conservação de energia gravitational ⇆ cinética) e dinâmica do movimento circular (força centrípeta, tensão mínima).

Passo 2

(a) Velocidade no ponto mais baixo antes de engatar o prego
  1. Teoria: conserva energia mecânica. A bola desce de uma altura igual a m g L = tfrac12 m v^2 Longrightarrow v = raiz2 g L, (pois partiu da horizontal até o ponto mais baixo).
  2. Energia inicial (no alto): toda potencial v = raiz2cdot9,8cdot1,20approx raiz23,52approx4,85:m/s. No ponto mais baixo, virou cinética .
  3. Igualando:
  4. Numericamente (usando ):

Passo 3

(b) Velocidade no ponto mais alto do segundo círculo
  1. Assim que a corda encosta no prego, o raio passa a ser tfrac12 m vrm init^2 = tfrac12 m vrm top^2 + m g,(2r). Nesse instante, a bola já tem vrm top^2 = vrm init^2 - 2g,(2r) = (2gL) - 4g(L-d) = 2gl(L - 2(L-d)r) = 2g(2d - L), .
  2. Para subir até o topo desse pequeno círculo, ela ganha altura vrm top = raiz2cdot9,8,(2cdot0,75 - 1,20) = raiz2cdot9,8cdot0,30 approx raiz5,88 approx2,43:m/s . Parte da energia cinética vira potencial.
  3. Conservação de energia entre o instante em que engata e o ponto mais alto:
  4. Resolve pra :
  5. Substituindo e :

Passo 4

© Condição para dar a volta completa
  1. No ponto mais alto do círculo pequeno, a força centrípeta mínima vem só do peso (tensão m,vrm top^2r >= m,g Longrightarrow vrm top^2 >= g,r ). Então vrm top^2 = 2g(L - 2r)
  2. Mas já vimos que, por conservação de energia, 2g(L - 2r);>=; g,r Longrightarrow 2(L - 2r) >= r Longrightarrow 2L >= 5r Então a condição fica 2L >= 5(L - d) Longrightarrow 2L >= 5L - 5d Longrightarrow 5d >= 3L Longrightarrow d >= tfrac3L5
  3. Lembrando que , isso vira

Resposta

(a)
(b)
© Para dar a volta completa é preciso .

Exercícios relacionados