Uma massa, ligada a uma corda de comprimento
, é solta do repouso e se move até encontrar o prego fixo em
cm ). Qual é a velocidade da bola (a) quando ela atinge o ponto mais baixo da sua trajetória e (b) quando ela atinge o ponto mais alto, depois de a corda ficar presa no prego? © Mostre que, se a massa der uma volta circular completa de raio
em torno do prego, então
. Dica: o valor mínimo da tensão no topo da volta circular é zero.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que rolou:
– Enunciado: temos uma massa presa a uma corda de comprimento . Ela é largada do repouso (imagine a corda na horizontal) e balança até que, na descida, a corda “engata” num prego que está a uma distância
abaixo do pivô. A partir daí a bola passa a girar em torno do prego com raio
.
– O que a gente precisa calcular:
(a) velocidade da bola ao chegar no ponto mais baixo antes de pegar o prego;
(b) velocidade dela no ponto mais alto do “segundo” círculo (em torno do prego);
© mostrar que, para a bola dar a volta completa nesse círculo de raio , precisa valer
.
– Matéria envolvida: energia mecânica (conservação de energia gravitational ⇆ cinética) e dinâmica do movimento circular (força centrípeta, tensão mínima).
– Enunciado: temos uma massa presa a uma corda de comprimento
– O que a gente precisa calcular:
(a) velocidade da bola ao chegar no ponto mais baixo antes de pegar o prego;
(b) velocidade dela no ponto mais alto do “segundo” círculo (em torno do prego);
© mostrar que, para a bola dar a volta completa nesse círculo de raio
– Matéria envolvida: energia mecânica (conservação de energia gravitational ⇆ cinética) e dinâmica do movimento circular (força centrípeta, tensão mínima).
Passo 2
(a) Velocidade no ponto mais baixo antes de engatar o prego
- Teoria: conserva energia mecânica. A bola desce de uma altura igual a
(pois partiu da horizontal até o ponto mais baixo). - Energia inicial (no alto): toda potencial
. No ponto mais baixo, virou cinética . - Igualando:
- Numericamente (usando
):
Passo 3
(b) Velocidade no ponto mais alto do segundo círculo
- Assim que a corda encosta no prego, o raio passa a ser
. Nesse instante, a bola já tem . - Para subir até o topo desse pequeno círculo, ela ganha altura
. Parte da energia cinética vira potencial. - Conservação de energia entre o instante em que engata e o ponto mais alto:
- Resolve pra
: - Substituindo
e :
Passo 4
© Condição para dar a volta completa
- No ponto mais alto do círculo pequeno, a força centrípeta mínima vem só do peso (tensão
). Então - Mas já vimos que, por conservação de energia,
Então a condição fica - Lembrando que
, isso vira
Resposta
(a)
(b)
© Para dar a volta completa é preciso .
(b)
© Para dar a volta completa é preciso