(a) Calcule a velocidade de escape de um planeta hipotético de raio igual a 500 km , e cuja aceleração da gravidade na superfície é g0=3,00 m / s^2. (b) Até que altura deverá se elevar uma partícula que tem uma velocidade inicial de 1000 m / s, orientada de baixo para cima? © Com que velocidade um objeto se choca contra o planeta, se ele for largado de um ponto situado a 1500 km do centro do planeta? (Dica: lembre que g0=G MP / RP^2=3,00 m / s^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado tem três itens sobre física gravitacional:
(a) calcular a velocidade de escape de um planeta de raio e gravidade de superfície ;
(b) descobrir até que altura sobe uma partícula lançada pra cima com ;
© achar a velocidade que ela atinge ao cair de uma distância de do centro do planeta.
O conteúdo é uso de energia gravitacional e fórmula da velocidade de escape, e a gente vai precisar da conservação da energia mecânica (energia cinética e potencial gravitacional) e da relação .

Passo 2

Resolvendo (a): velocidade de escape
  1. Teoria: A velocidade de escape é a mínima para uma partícula ir de tfrac12 vrm esc^2 = g0,RP Longrightarrow vrm esc = raiz2,g0,RP até o infinito, zerando a velocidade. Pela conservação de energia:
    vrm esc = raiz2cdot3,00cdot5,0times10^5 = raiz3,0times10^6 approx1,73times10^3 m/s .
  2. Usando , ficamos com
  1. Substituindo e :

Passo 3

Resolvendo (b): altura máxima com tfrac12 v0^2 = G MPl(tfrac1RP-tfrac1RP+hr)
  1. Teoria: energia cinética inicial vira diferencial de energia potencial gravitacional ao subir até tfrac12 v0^2 = g0 RP^2l(tfrac1RP-tfrac1RP+hr) = g0 RPl(1 - tfracRPRP+hr) .
tfrac12 v0^2 = g0 RPl(tfrac(RP+h)-RPRP+hr) = g0 RP,tfrachRP+h ;Longrightarrow; tfrachRP+h = v0^22g0RP
  1. De novo RP+h = 2g0RP^22g0RP - v0^2 Longrightarrow h = 2g0RP^22g0RP - v0^2 - RP . Logo
RP+h = 2cdot3cdot(5,0times10^5)^23,0times10^6 - 1,0times10^6 =7,5times10^5 m,
  1. Isolando :
  1. Resolvendo pra :
  1. Numericamente:
  • ,
  • .
    Então
logo

Passo 4

Resolvendo ©: velocidade ao cair de tfrac12 v^2 = G MPl(tfrac1RP-tfrac1r0r)
  1. Teoria: conservação de energia, agora toda energia potencial perdida vira cinética ao chegar em v = raiz2,g0 RP^2l(tfrac1RP-tfrac1r0r) :
tfrac1RP-tfrac1r0 =2,0times10^-6-0,667times10^-6=1,333times10^-6, m^-1
  1. Com v = raiz2cdot3,0cdot(5,0times10^5)^2cdot1,333times10^-6 approxraiz2,0times10^6 approx1,41times10^3 m/s :
  1. Numerando: , .

Resposta

(a)
(b) (250 km)
©

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