Um tubo de vidro comprido tem uma volta semicircular de raio 8 cm . Uma corda, com a densidade mássica de
, sob a tensão de 20 N , é puxada por dentro do tubo. (a) A que velocidade a corda deve ser puxada para passar através do tubo sem tocar nas paredes? (b) Qual será o módulo da aceleração dos segmentos da corda ao passarem através da volta semicircular? © Desenhar um diagrama que indique as forças que atuam sobre um segmento da corda na volta semicircular e que proporcionam esta aceleração.
Passo 1
Então, temos um tubo de vidro que faz uma curva semicircular com raio de 8 cm. Dentro desse tubo, uma corda com densidade mássica de
está sendo puxada com uma tensão de 20 N. Vamos resolver três partes: (a) descobrir a velocidade com que a corda deve ser puxada para não tocar nas paredes do tubo, (b) encontrar a aceleração dos segmentos da corda ao passarem pela curva, e © descrever as forças envolvidas nesse segmento da corda.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a corda não tocar nas paredes do tubo. Para isso, precisamos que a força centrípeta necessária para manter a corda em movimento pela curva seja fornecida pela tensão na corda. A força centrípeta (
) é dada por:
onde
é a massa do segmento da corda e
é a aceleração centrípeta.
Passo 3
A aceleração centrípeta pode ser calculada usando a fórmula:
onde
é a velocidade da corda e
é o raio da curva, que é 8 cm ou 0,08 m.
Passo 4
A massa do segmento da corda pode ser expressa em termos da densidade mássica (
) e do comprimento (
) da corda que está na curva:
Como a curva é semicircular, o comprimento
é metade do comprimento de uma circunferência completa:
Então,
Passo 5
Igualando a força centrípeta à tensão na corda:
Substituindo os valores:
Passo 6
Resolvendo para
:
Então, a velocidade
é:
Passo 7
Para a parte (b), queremos encontrar a aceleração dos segmentos da corda ao passarem pela curva. Já temos a aceleração centrípeta:
Passo 8
Na parte ©, precisamos desenhar um diagrama das forças atuando no segmento da corda na curva semicircular. As principais forças são:
- A tensão
na corda, que atua ao longo da corda, puxando-a para fora da curva. - A força centrípeta necessária (
) para manter o movimento circular, direcionada para o centro da curva. - A força gravitacional (
), que atua para baixo, mas pode ser desconsiderada se considerarmos o movimento horizontal.
Resposta
(a) A corda deve ser puxada a uma velocidade de aproximadamente
para passar através do tubo sem tocar nas paredes.
(b) O módulo da aceleração dos segmentos da corda ao passarem pela volta semicircular é de aproximadamente .
© As forças que atuam sobre um segmento da corda na volta semicircular são a tensão atuando ao longo da corda para fora da curva e a força centrípeta
direcionada para o centro da curva, necessárias para proporcionar a aceleração centrípeta.
(b) O módulo da aceleração dos segmentos da corda ao passarem pela volta semicircular é de aproximadamente
© As forças que atuam sobre um segmento da corda na volta semicircular são a tensão