Um tubo de vidro comprido tem uma volta semicircular de raio 8 cm . Uma corda, com a densidade mássica de 0,04 kg / m, sob a tensão de 20 N , é puxada por dentro do tubo. (a) A que velocidade a corda deve ser puxada para passar através do tubo sem tocar nas paredes? (b) Qual será o módulo da aceleração dos segmentos da corda ao passarem através da volta semicircular? © Desenhar um diagrama que indique as forças que atuam sobre um segmento da corda na volta semicircular e que proporcionam esta aceleração.

Passo 1

Então, temos um tubo de vidro que faz uma curva semicircular com raio de 8 cm. Dentro desse tubo, uma corda com densidade mássica de 0,04 , kg/m está sendo puxada com uma tensão de 20 N. Vamos resolver três partes: (a) descobrir a velocidade com que a corda deve ser puxada para não tocar nas paredes do tubo, (b) encontrar a aceleração dos segmentos da corda ao passarem pela curva, e © descrever as forças envolvidas nesse segmento da corda.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a corda não tocar nas paredes do tubo. Para isso, precisamos que a força centrípeta necessária para manter a corda em movimento pela curva seja fornecida pela tensão na corda. A força centrípeta ( Fc) é dada por:
Fc = m times ac
onde m é a massa do segmento da corda e ac é a aceleração centrípeta.

Passo 3

A aceleração centrípeta pode ser calculada usando a fórmula:
ac = v^2r
onde v é a velocidade da corda e r é o raio da curva, que é 8 cm ou 0,08 m.

Passo 4

A massa do segmento da corda pode ser expressa em termos da densidade mássica ( lambda) e do comprimento ( L) da corda que está na curva:
m = lambda times L
Como a curva é semicircular, o comprimento L é metade do comprimento de uma circunferência completa:
L = pi times r = pi times 0,08 , m approx 0,251 , m
Então,
m = 0,04 , kg/m times 0,251 , m approx 0,01004 , kg

Passo 5

Igualando a força centrípeta à tensão na corda:
Fc = T Rightarrow m times v^2r = T
Substituindo os valores:
0,01004 , kg times v^20,08 , m = 20 , N

Passo 6

Resolvendo para v^2:
v^2 = 20 , N times 0,08 , m0,01004 , kg approx 1,60,01004 approx 159,36 , m^2/s^2
Então, a velocidade v é:
v = raiz159,36 approx 12,61 , m/s

Passo 7

Para a parte (b), queremos encontrar a aceleração dos segmentos da corda ao passarem pela curva. Já temos a aceleração centrípeta:
ac = v^2r = 159,360,08 approx 1992 , m/s^2

Passo 8

Na parte ©, precisamos desenhar um diagrama das forças atuando no segmento da corda na curva semicircular. As principais forças são:
  • A tensão T na corda, que atua ao longo da corda, puxando-a para fora da curva.
  • A força centrípeta necessária ( Fc) para manter o movimento circular, direcionada para o centro da curva.
  • A força gravitacional ( mg), que atua para baixo, mas pode ser desconsiderada se considerarmos o movimento horizontal.

Resposta

(a) A corda deve ser puxada a uma velocidade de aproximadamente 12,61 , m/s para passar através do tubo sem tocar nas paredes.
(b) O módulo da aceleração dos segmentos da corda ao passarem pela volta semicircular é de aproximadamente 1992 , m/s^2.
© As forças que atuam sobre um segmento da corda na volta semicircular são a tensão T atuando ao longo da corda para fora da curva e a força centrípeta Fc direcionada para o centro da curva, necessárias para proporcionar a aceleração centrípeta.

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