Uma massa m>0 em uma mola com constante elástica k>0 satisfaz a equação diferencial m u^prime prime+k u=0, onde u(t) é o deslocamento da massa no instante t a partir de sua posição de equilíbrio.
Sejam x=u e y=u^prime. Mostre que o sistema resultante é:

Passo 1

O enunciado diz que temos a equação do oscilador harmônico m u'' + k u = 0 e pede para escrever isso como um sistema de primeira ordem usando as variáveis x = u e y = u'. Esse conteúdo entra em sistemas lineares de primeira ordem.

Passo 2

Definindo x = u, temos imediatamente x' = u' = y. Essa é a primeira linha do sistema: x' = y.

Passo 3

Para a segunda variável, note que y = u' implica y' = u''. Da equação original vem u'' = -tfrackmu = -tfrackmx. Então temos y' = -tfrackmx. Colocando tudo em forma matricial, obtemos o sistema desejado.

Resposta

x' y' = 0 & 1 -tfrackm & 0 x y

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