Resolva a equação diferencial dada usando a substituição apropriada.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
(x^2+x y-3 y^2),dx - (x^2+2xy),dy = 0
O conteúdo é equações diferenciais homogêneas, e a ideia é usar a substituição y = v x para reduzir a ordem e separar variáveis.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos em forma dy/dx:
dydx = x^2+x y-3y^2x^2+2xy
Com a substituição y= v x, temos dy/dx = v + x,dv/dx. Substituindo, obtém-se
v + xdvdx = x^2+x(vx)-3(vx)^2x^2+2x(vx) = 1 + v - 3v^21 + 2v

Passo 3

Isolando dv/dx, vem
xdvdx = 1 + v - 3v^21 + 2v - v = 1 - 5v^21 + 2v,
ou
dvdx = 1 - 5v^2(1 + 2v)x
Agora separamos as variáveis:
1 + 2v1 - 5v^2,dv = dxx

Passo 4

Integramos ambos os lados. No lado esquerdo, separamos em duas frações:
integral 1 + 2v1 - 5v^2,dv = integral dv1 - 5v^2 + 2integral v,dv1 - 5v^2
As integrais valem
integral dv1 - 5v^2 = 1raiz5artanh(raiz5v),
2integral v,dv1 - 5v^2 = -15ln|1 - 5v^2|
Do lado direito vem ln|x| + C. Portanto:
1raiz5artanh(raiz5v) - 15ln|1 - 5v^2| = ln|x| + C

Passo 5

Voltando a v = y/x, temos 1 - 5v^2 = (x^2-5y^2)/x^2 e artanh(raiz5v)=artanh(tfracraiz5yx). Após reorganizar logaritmos, obtemos a solução implícita:
lnl|x^3(x^2-5y^2)r| - raiz5,artanhl(tfracraiz5yxr) = C

Passo 6

Este é o resultado geral da equação diferencial, dado de forma implícita.

Resposta

lnl|x^3(x^2-5y^2)r| - raiz5,artanhl(tfracraiz5yxr) = C.

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