Resolva o PVI dado e descreva o comportamento da solução quando
.
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos o PVI para o vetor
dado por
com
O conteúdo é de sistemas lineares com coeficientes constantes e vamos usar decoupling (separar componentes) e fator integrante.
Passo 2
O primeiro passo efetivo é resolver a equação para
. Do sistema extraímos
Isso é uma equação diferencial de primeira ordem e separável, cuja solução geral é
Impondo
obtemos
, logo
Passo 3
Agora resolvemos
a partir de
Trata-se de uma equação linear em
. Usamos fator integrante
. Multiplicando ambos os lados por
temos
Integrando,
e impondo
dá
. Assim
Passo 4
Juntando as componentes, a solução do PVI é
Para
, note que
e
, logo
Isso mostra que a origem é um ponto assintoticamente estável, com
decaindo exponencialmente e
decaindo como
.
Resposta
A solução do PVI é
e, quando
, temos
, ou seja, a solução tende à origem de forma assintoticamente estável.