Resolva o PVI dado e descreva o comportamento da solução quando t infty.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos o PVI para o vetor X(t)=x1(t)x2(t) dado por X'=A,X com
A=-2 & 03 & -2, X(0)=2-1
O conteúdo é de sistemas lineares com coeficientes constantes e vamos usar decoupling (separar componentes) e fator integrante.

Passo 2

O primeiro passo efetivo é resolver a equação para x1(t). Do sistema extraímos
x1'= -2,x1
Isso é uma equação diferencial de primeira ordem e separável, cuja solução geral é
x1(t)=C1e^-2t
Impondo x1(0)=2 obtemos C1=2, logo
x1(t)=2e^-2t

Passo 3

Agora resolvemos x2(t) a partir de
x2'=3x1-2x2=3cdot2e^-2t-2x2=6e^-2t-2x2
Trata-se de uma equação linear em x2. Usamos fator integrante mu(t)=e^2t. Multiplicando ambos os lados por e^2t temos
ddtl(e^2tx2r)=6
Integrando,
e^2tx2=6t+C2
e impondo x2(0)=-1 C2=-1. Assim
x2(t)=(6t-1)e^-2t

Passo 4

Juntando as componentes, a solução do PVI é
X(t)=2e^-2t(6t-1)e^-2t
Para ttoinfty, note que e^-2tto0 e t e^-2tto0, logo
X(t)to00
Isso mostra que a origem é um ponto assintoticamente estável, com x1 decaindo exponencialmente e x2 decaindo como t e^-2t.

Resposta

A solução do PVI é
X(t)=2e^-2t(6t-1)e^-2t
e, quando ttoinfty, temos X(t)to(0,0)^T, ou seja, a solução tende à origem de forma assintoticamente estável.

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