Uma massa
se move em uma órbita circular centrada na origem sob a ação de uma força central atrativa com energia potencial
. Prove que
, resultado muito útil conhecido como o teorema do virial.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte:
- Dado: uma massa
descreve uma órbita circular de raio em torno da origem, sob uma força central derivada do potencial . A força é atrativa (isto apenas diz respeito ao sinal de , mas a forma é a informação essencial). - Pede-se: provar a relação entre energia cinética
e energia potencial , nomeadamente a fórmula pedida (teorema do virial para órbitas circulares com potencial de potência).
Informações relevantes dadas pelo enunciado que usarei depois (apenas listadas, sem iniciar a resolução):
- Energia cinética de uma partícula de massa
e velocidade é
Passo 2
Escrever a equação do movimento radial para uma órbita circular e explicar os sinais.
- Para uma órbita circular a velocidade é tangencial e a aceleração radial (a componente do vetor aceleração na direção radial) tem módulo
e é dirigida para o centro. Em sinalização radial (tomando a direção radial para fora como positiva), a aceleração radial é
- A força central radial que age sobre a partícula é dada pela derivada negativa do potencial:
- Aplicando a segunda lei de Newton na direção radial:
. Substituindo e obtemos
- Simplificando os sinais (multiplicando por
) resulta
Aqui foi importante usar corretamente a direção da aceleração (inward) e a relação força =
; isso dá a igualdade acima entre a quantidade centrípeta
e a derivada do potencial.
Passo 3
Relacionar essa igualdade com a energia cinética.
- Multiplicando a igualdade do passo anterior por
obtemos
- Como
, multiplicando a definição de por dá . Portanto, substituindo da igualdade anterior,
Esta é uma relação geral útil: para uma órbita circular, duas vezes a energia cinética vale
vezes a derivada radial do potencial.
Passo 4
Aplicar a forma do potencial
.
- Calcular a derivada:
- Multiplicando por
dá
- Mas
. Logo
Passo 5
Combinar com a relação entre
e
obtida no passo 3.
- Substituindo
em resulta
- Finalmente,
Isto é exatamente a relação pedida. Observações sobre sinais e interpretação física: a relação vale para qualquer
enquanto as quantidades sejam as definidas; para uma força atrativa frequentemente o coeficiente
é negativo e então
é negativa, mas a relação algebraica acima continua válida — por exemplo, para gravitação
obtém-se
, o que dá
, como esperado.
Passo 6
Exemplos rápidos para fixar a ideia (curtinho e prático):
- Gravitação newtoniana:
. Aplicando a fórmula,
ou seja
, resultado clássico para órbitas circulares keplerianas.
- Oscilador harmônico radial (caso de órbita circular em potencial efetivo quadrático): se
então e numa órbita circular (energia cinética igual à energia potencial).
Força extra: respira, tá indo bem — essa derivação é curta e cai direto no que se pede numa prova.