Uma massa m se move em uma órbita circular centrada na origem sob a ação de uma força central atrativa com energia potencial U=k r^{n}. Prove que T=n U / 2, resultado muito útil conhecido como o teorema do virial.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte:
  • Dado: uma massa \,m\, descreve uma órbita circular de raio \,r\, em torno da origem, sob uma força central derivada do potencial \,U(r)=k\,r^{n}\,. A força é atrativa (isto apenas diz respeito ao sinal de k, mas a forma U=k r^n é a informação essencial).
  • Pede-se: provar a relação entre energia cinética T e energia potencial U, nomeadamente a fórmula pedida \,T=\dfrac{n}{2}\,U\, (teorema do virial para órbitas circulares com potencial de potência).
Informações relevantes dadas pelo enunciado que usarei depois (apenas listadas, sem iniciar a resolução):
  • Energia cinética de uma partícula de massa \,m\, e velocidade \,v\, é \;T=\dfrac{1}{2}m v^{2}.

Passo 2

Escrever a equação do movimento radial para uma órbita circular e explicar os sinais.
  • Para uma órbita circular a velocidade é tangencial e a aceleração radial (a componente do vetor aceleração na direção radial) tem módulo \,v^{2}/r\, e é dirigida para o centro. Em sinalização radial (tomando a direção radial para fora como positiva), a aceleração radial é
a_{r} = -\frac{v^{2}}{r}.
  • A força central radial que age sobre a partícula é dada pela derivada negativa do potencial:
F_{r} = -\frac{dU}{dr}.
  • Aplicando a segunda lei de Newton na direção radial: m a_{r} = F_{r}. Substituindo a_{r} e F_{r} obtemos
m\left(-\frac{v^{2}}{r}\right) = -\frac{dU}{dr}.
  • Simplificando os sinais (multiplicando por -1) resulta
m\,\frac{v^{2}}{r} = \frac{dU}{dr}.
Aqui foi importante usar corretamente a direção da aceleração (inward) e a relação força = -dU/dr; isso dá a igualdade acima entre a quantidade centrípeta m v^2/r e a derivada do potencial.

Passo 3

Relacionar essa igualdade com a energia cinética.
  • Multiplicando a igualdade do passo anterior por r obtemos
m v^{2} = r\,\frac{dU}{dr}.
  • Como \;T=\dfrac{1}{2}m v^{2}\;, multiplicando a definição de T por 2 2T = m v^{2}. Portanto, substituindo m v^{2} da igualdade anterior,
2T = r\,\frac{dU}{dr}.
Esta é uma relação geral útil: para uma órbita circular, duas vezes a energia cinética vale r vezes a derivada radial do potencial.

Passo 4

Aplicar a forma do potencial U(r)=k r^{n}.
  • Calcular a derivada:
\frac{dU}{dr} = \frac{d}{dr}\bigl(k r^{n}\bigr) = k n r^{\,n-1}.
  • Multiplicando por r
r\,\frac{dU}{dr} = r\cdot k n r^{\,n-1} = k n r^{n}.
  • Mas k r^{n}=U. Logo
r\,\frac{dU}{dr} = n\,U.

Passo 5

Combinar com a relação entre T e r\,dU/dr obtida no passo 3.
  • Substituindo r\,\dfrac{dU}{dr}=nU em \,2T = r\,\dfrac{dU}{dr}\, resulta
2T = n\,U.
  • Finalmente,
T = \frac{n}{2}\,U.
Isto é exatamente a relação pedida. Observações sobre sinais e interpretação física: a relação vale para qualquer n enquanto as quantidades sejam as definidas; para uma força atrativa frequentemente o coeficiente k é negativo e então U é negativa, mas a relação algebraica acima continua válida — por exemplo, para gravitação (n=-1,\\ U=-GMm/r) obtém-se T=\dfrac{-1}{2}U, o que dá T=GMm/(2r)>0, como esperado.

Passo 6

Exemplos rápidos para fixar a ideia (curtinho e prático):
  • Gravitação newtoniana: \;U=-\dfrac{GMm}{r}\Rightarrow n=-1. Aplicando a fórmula,
T=\frac{-1}{2}\,U=\frac{GMm}{2r},
ou seja 2T=-U, resultado clássico para órbitas circulares keplerianas.
  • Oscilador harmônico radial (caso de órbita circular em potencial efetivo quadrático): se U\propto r^{2} então n=2 e T=U numa órbita circular (energia cinética igual à energia potencial).
Força extra: respira, tá indo bem — essa derivação é curta e cai direto no que se pede numa prova.

Resposta

T=\frac{n}{2}\,U

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