Mostre que a força de Coulomb é conservativa. Em coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado pede: mostrar que a força de Coulomb é conservativa, usando coordenadas esféricas.
Informações fornecidas / que vamos usar (definições e notação):
  • Duas cargas q_1 e q_2 separadas por uma distância r.
  • Constante eletrostática k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} (ou apenas k).
  • A força de Coulomb (módulo e direção radial) é dada por \mathbf{F}(\mathbf{r}) = k\,\dfrac{q_1 q_2}{r^2}\,\hat{\mathbf{r}}.
  • O que se pede: provar, em coordenadas esféricas, que essa força é conservativa (ou seja, que existe potencial escalar cuja gradiente gera a força, equivalently que \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} no domínio apropriado).

Passo 2

Escrever a força em componentes esféricas e explicar as quantidades.
  • Em coordenadas esféricas (variáveis (r,\theta,\varphi)), a base local é \{\hat{\mathbf{r}},\hat{\boldsymbol{\theta}},\hat{\boldsymbol{\varphi}}\}.
  • A força de Coulomb tem apenas componente radial; portanto as componentes (no sistema esférico) são:
F_r = k\,\dfrac{q_1 q_2}{r^2},\qquad F_\theta = 0,\qquad F_\varphi = 0.
Aqui F_r é a componente na direção \hat{\mathbf{r}}, F_\theta na direção \hat{\boldsymbol{\theta}} e F_\varphi na direção \hat{\boldsymbol{\varphi}}. Note que F_r depende apenas de r (não depende de \theta nem \varphi).

Passo 3

Apresentar a fórmula do rotor (curl) em coordenadas esféricas e explicar cada termo.
Para um campo vetorial expresso nas componentes esféricas A_r(r,\theta,\varphi),\,A_\theta(r,\theta,\varphi),\,A_\varphi(r,\theta,\varphi), as componentes do rotor \nabla\times\mathbf{A} na base esférica são:
(\nabla\times\mathbf{A})_r=\frac{1}{r\sin\theta}\left[\frac{\partial}{\partial\theta}\big(\sin\theta\,A_\varphi\big)-\frac{\partial A_\theta}{\partial\varphi}\right],
(\nabla\times\mathbf{A})_\theta=\frac{1}{r}\left[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial A_r}{\partial\varphi}-\frac{\partial}{\partial r}\big(r\,A_\varphi\big)\right],
(\nabla\times\mathbf{A})_\varphi=\frac{1}{r}\left[\frac{\partial}{\partial r}\big(r\,A_\theta\big)-\frac{\partial A_r}{\partial\theta}\right].
Explicação rápida: cada componente combina derivadas parciais das componentes do campo, ajustadas por fatores geométricos r e \sin\theta que aparecem devido à base não-cartesiana das coordenadas esféricas.

Passo 4

Substituir as componentes do campo de Coulomb na fórmula do rotor. Aqui A_r=F_r, A_\theta=F_\theta, A_\varphi=F_\varphi. Como já identificamos:
A_r = k\,\dfrac{q_1 q_2}{r^2},\qquad A_\theta=0,\qquad A_\varphi=0.
Agora calcular termo a termo.

Passo 5

Calcular (\nabla\times\mathbf{F})_r. Usando a fórmula:
(\nabla\times\mathbf{F})_r=\frac{1}{r\sin\theta}\left[\frac{\partial}{\partial\theta}\big(\sin\theta\cdot 0\big)-\frac{\partial 0}{\partial\varphi}\right]=\frac{1}{r\sin\theta}\big[0-0\big]=0.

Passo 6

Calcular (\nabla\times\mathbf{F})_\theta. Usando a fórmula:
(\nabla\times\mathbf{F})_\theta=\frac{1}{r}\left[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial A_r}{\partial\varphi}-\frac{\partial}{\partial r}\big(r\cdot 0\big)\right].
Mas A_r depende somente de r, logo \dfrac{\partial A_r}{\partial\varphi}=0. E \dfrac{\partial}{\partial r}(r\cdot 0)=0. Portanto
(\nabla\times\mathbf{F})_\theta=\frac{1}{r}\big[0-0\big]=0.

Passo 7

Calcular (\nabla\times\mathbf{F})_\varphi. Usando a fórmula:
(\nabla\times\mathbf{F})_\varphi=\frac{1}{r}\left[\frac{\partial}{\partial r}\big(r\cdot 0\big)-\frac{\partial A_r}{\partial\theta}\right].
Novamente A_r não depende de \theta, logo \dfrac{\partial A_r}{\partial\theta}=0, e \dfrac{\partial}{\partial r}(r\cdot 0)=0. Assim
(\nabla\times\mathbf{F})_\varphi=\frac{1}{r}\big[0-0\big]=0.

Passo 8

Concluir que o rotor é nulo no domínio r>0. Juntando as componentes:
\nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}\qquad\text{para } r>0.
Comentário topológico e interpretação: a singularidade está em r=0 (local da carga). O campo está bem definido em \mathbb{R}^3\setminus\{0\}. Em dimensões 3 o conjunto \mathbb{R}^3\setminus\{0\} é simplesmente conexo no sentido necessário para a implicação clássica “se \nabla\times\mathbf{F}=0 em um domínio simplesmente conexo, então \mathbf{F} é campo gradiente (conservativo) nesse domínio”. Portanto a força de Coulomb é conservativa em todo o espaço exceto no ponto da carga (onde o campo é singular).

Passo 9

Exibir explicitamente o potencial escalar correspondente (pequena “aula” sobre gradiente radial).
  • Se existe potencial U(r) tal que \mathbf{F}=-\nabla U, e se U depende apenas de r, então em coordenadas esféricas
\nabla U = \frac{dU}{dr}\,\hat{\mathbf{r}}.
  • Assim a igualdade \mathbf{F}=-\nabla U dá a equação ordinária:
-k\,\dfrac{q_1 q_2}{r^2} = -\frac{dU}{dr}\quad\Longrightarrow\quad \frac{dU}{dr} = -k\,\dfrac{q_1 q_2}{r^2}.
  • Integrando em relação a r:
U(r) = \int -k\,\dfrac{q_1 q_2}{r^2}\,dr = k\,\dfrac{q_1 q_2}{r} + C,
onde C é constante arbitrária (referência de energia). Esta U(r) reproduz \mathbf{F} através de \mathbf{F}=-\nabla U, confirmando a conservatividade.

Passo 10

Resumo final (motivacional): mostramos passo a passo que todas as componentes do rotor em coordenadas esféricas são zero para r>0, e que existe um potencial escalar U(r)=k\,\dfrac{q_1 q_2}{r}+C cuja derivada gera a força. Logo, a força de Coulomb é conservativa no domínio onde o campo é regular (isto é, fora do ponto da carga). Beleza — agora você tem a demonstração formal em esféricas e o potencial explícito para usar na prova. Força nisso, você consegue!

Resposta

\nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} para r>0.
O potencial associado é U(r)=k\,\dfrac{q_1 q_2}{r}+C, com k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}.

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