Mostre que a força de Coulomb é conservativa. Em coordenadas esféricas.
Passo 1
O enunciado pede: mostrar que a força de Coulomb é conservativa, usando coordenadas esféricas.
Informações fornecidas / que vamos usar (definições e notação):
Informações fornecidas / que vamos usar (definições e notação):
- Duas cargas
e separadas por uma distância . - Constante eletrostática
(ou apenas ). - A força de Coulomb (módulo e direção radial) é dada por
. - O que se pede: provar, em coordenadas esféricas, que essa força é conservativa (ou seja, que existe potencial escalar cuja gradiente gera a força, equivalently que
no domínio apropriado).
Passo 2
Escrever a força em componentes esféricas e explicar as quantidades.
- Em coordenadas esféricas (variáveis
), a base local é . - A força de Coulomb tem apenas componente radial; portanto as componentes (no sistema esférico) são:
Aqui
é a componente na direção
,
na direção
e
na direção
. Note que
depende apenas de
(não depende de
nem
).
Passo 3
Apresentar a fórmula do rotor (curl) em coordenadas esféricas e explicar cada termo.
Para um campo vetorial expresso nas componentes esféricas , as componentes do rotor
na base esférica são:
Para um campo vetorial expresso nas componentes esféricas
Explicação rápida: cada componente combina derivadas parciais das componentes do campo, ajustadas por fatores geométricos
e
que aparecem devido à base não-cartesiana das coordenadas esféricas.
Passo 4
Substituir as componentes do campo de Coulomb na fórmula do rotor. Aqui
,
,
. Como já identificamos:
Agora calcular termo a termo.
Passo 5
Calcular
. Usando a fórmula:
Passo 6
Calcular
. Usando a fórmula:
Mas
depende somente de
, logo
. E
. Portanto
Passo 7
Calcular
. Usando a fórmula:
Novamente
não depende de
, logo
, e
. Assim
Passo 8
Concluir que o rotor é nulo no domínio
. Juntando as componentes:
Comentário topológico e interpretação: a singularidade está em
(local da carga). O campo está bem definido em
. Em dimensões
o conjunto
é simplesmente conexo no sentido necessário para a implicação clássica “se
em um domínio simplesmente conexo, então
é campo gradiente (conservativo) nesse domínio”. Portanto a força de Coulomb é conservativa em todo o espaço exceto no ponto da carga (onde o campo é singular).
Passo 9
Exibir explicitamente o potencial escalar correspondente (pequena “aula” sobre gradiente radial).
- Se existe potencial
tal que , e se depende apenas de , então em coordenadas esféricas
- Assim a igualdade
dá a equação ordinária:
- Integrando em relação a
:
onde
é constante arbitrária (referência de energia). Esta
reproduz
através de
, confirmando a conservatividade.
Passo 10
Resumo final (motivacional): mostramos passo a passo que todas as componentes do rotor em coordenadas esféricas são zero para
, e que existe um potencial escalar
cuja derivada gera a força. Logo, a força de Coulomb é conservativa no domínio onde o campo é regular (isto é, fora do ponto da carga). Beleza — agora você tem a demonstração formal em esféricas e o potencial explícito para usar na prova. Força nisso, você consegue!
Resposta
O potencial associado é