Um satélite de massa m se move em uma órbita circular de raio r, medido em relação ao centro da Terra. Dado um eixo que é perpendicular ao plano do movimento e passa pela origem (centro da Terra), qual é o módulo do momento angular do satélite em relação ao eixo e a energia total do sistema em termos da constante gravitacional G, da massa da Terra M, da massa do satélite m e do raio da órbita r ? Considere o atrito com a atmosfera como sendo desprezível e adote o zero de energia potencial gravitacional como sendo no infinito.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (lista clara, sem resolver ainda):
  • Dados:
    • massa do satélite: m;
    • massa da Terra: M;
    • constante gravitacional: G;
    • raio da órbita circular (medido do centro da Terra): r;
    • eixo considerado: eixo perpendicular ao plano da órbita que passa pelo centro da Terra;
    • despreza-se atrito atmosférico;
    • referência da energia potencial gravitacional: U(\infty)=0.
  • Perguntas:
    1. Qual é o módulo do momento angular do satélite em relação ao eixo perpendicular ao plano da órbita através do centro da Terra?
    2. Qual é a energia total do sistema (energia mecânica) em termos de G, M, m e r?

Passo 2

Entender o momento angular para uma partícula em movimento circular e as quantidades envolvidas.
  • Definição vetorial do momento angular de uma partícula: \vec L=\vec r\times\vec p, onde:
    • \vec r é o vetor posição do satélite em relação ao ponto originário (centro da Terra);
    • \vec p é o momento linear \vec p=m\vec v (com \vec v velocidade).
  • O módulo do momento angular é
L=|\vec L|=|\vec r||\vec p|\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec r e \vec p.
  • Para órbita circular, a velocidade é tangencial à circunferência e \vec v é perpendicular a \vec r. Então \sin\theta=1 e
L = m v r.
Aqui v é o módulo da velocidade orbital. Portanto, para encontrar L precisamos primeiro achar v.

Passo 3

Encontar a velocidade orbital v usando o equilíbrio das forças (ideia física): a força gravitacional fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular.
  • Força gravitacional (módulo) entre Terra e satélite:
F_\text{grav}=\frac{G M m}{r^{2}}.
  • Força centrípeta necessária para manter circulação com velocidade v em raio r:
F_\text{cent}=\frac{m v^{2}}{r}.
  • Igualando as duas (a atração gravitacional é a responsável pela aceleração centrípeta):
\frac{G M m}{r^{2}}=\frac{m v^{2}}{r}.
  • Simplificando (cancela-se m dos dois lados e um fator r):
\frac{G M}{r^{2}}=\frac{v^{2}}{r}\quad\Rightarrow\quad v^{2}=\frac{G M}{r}.
  • Assim a velocidade orbital é
v=\sqrt{\frac{G M}{r}}.

Passo 4

Substituir v na expressão do momento angular para obter L.
  • Partindo de L=m v r e usando v=\sqrt{\dfrac{G M}{r}}:
L = m\left(\sqrt{\frac{G M}{r}}\right) r.
  • Simplificando:
L = m\, r\, \sqrt{\frac{G M}{r}} = m \sqrt{G M r}.
  • Interpretação rápida: o módulo do momento angular cresce como \sqrt{r} (para mesma m e M).

Passo 5

Calcular a energia cinética K do satélite na órbita circular.
  • Fórmula da energia cinética para partícula: K=\dfrac{1}{2}m v^{2}.
  • Usando v^{2}=\dfrac{G M}{r}:
K = \frac{1}{2}m\left(\frac{G M}{r}\right)=\frac{G M m}{2 r}.

Passo 6

Escrever a energia potencial gravitacional U com a referência U(\infty)=0.
  • Para interação gravitacional entre duas massas, a energia potencial é
U(r)=-\frac{G M m}{r}.
  • O sinal negativo indica que a energia é menor (negativa) quando as massas estão a uma distância finita — o sistema está ligado (bound) em relação à referência zero no infinito.

Passo 7

Somar energia cinética e potencial para obter a energia total E.
  • Energia total:
E=K+U=\frac{G M m}{2 r}-\frac{G M m}{r}.
  • Simplificando:
E=-\frac{G M m}{2 r}.
  • Interpretação física: a energia total negativa confirma que a órbita é ligada; o módulo da energia total é metade do módulo da energia potencial, que é uma propriedade clássica de órbitas circulares em potencial gravitacional.

Passo 8

Recapitulação curta (motivar e encorajar):
  • Encontramos uma expressão direta e útil para o momento angular e para a energia total em termos das constantes do problema.
  • Se estiver nervoso para a prova: memorize as formas comuns para órbitas circulares — velocidade v=\sqrt{GM/r}, momento angular L=m\sqrt{GMr} e energia total E=-GMm/(2r). Essas aparecem sempre e valem a pena decorar com entendimento.

Resposta

L = m\sqrt{G M r}
E = -\frac{G M m}{2 r}

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