Um satélite de massa m se move em uma órbita circular de raio
, medido em relação ao centro da Terra. Dado um eixo que é perpendicular ao plano do movimento e passa pela origem (centro da Terra), qual é o módulo do momento angular do satélite em relação ao eixo e a energia total do sistema em termos da constante gravitacional
, da massa da Terra
, da massa do satélite
e do raio da órbita
? Considere o atrito com a atmosfera como sendo desprezível e adote o zero de energia potencial gravitacional como sendo no infinito.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (lista clara, sem resolver ainda):
-
Dados:
- massa do satélite:
; - massa da Terra:
; - constante gravitacional:
; - raio da órbita circular (medido do centro da Terra):
; - eixo considerado: eixo perpendicular ao plano da órbita que passa pelo centro da Terra;
- despreza-se atrito atmosférico;
- referência da energia potencial gravitacional:
.
- massa do satélite:
-
Perguntas:
- Qual é o módulo do momento angular do satélite em relação ao eixo perpendicular ao plano da órbita através do centro da Terra?
- Qual é a energia total do sistema (energia mecânica) em termos de
, , e ?
Passo 2
Entender o momento angular para uma partícula em movimento circular e as quantidades envolvidas.
- Definição vetorial do momento angular de uma partícula:
, onde: -
é o vetor posição do satélite em relação ao ponto originário (centro da Terra); -
é o momento linear (com velocidade).
-
- O módulo do momento angular é
onde
é o ângulo entre
e
.
- Para órbita circular, a velocidade é tangencial à circunferência e
é perpendicular a . Então e
Aqui
é o módulo da velocidade orbital. Portanto, para encontrar
precisamos primeiro achar
.
Passo 3
Encontar a velocidade orbital
usando o equilíbrio das forças (ideia física): a força gravitacional fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular.
- Força gravitacional (módulo) entre Terra e satélite:
- Força centrípeta necessária para manter circulação com velocidade
em raio :
- Igualando as duas (a atração gravitacional é a responsável pela aceleração centrípeta):
- Simplificando (cancela-se
dos dois lados e um fator ):
- Assim a velocidade orbital é
Passo 4
Substituir
na expressão do momento angular para obter
.
- Partindo de
e usando :
- Simplificando:
- Interpretação rápida: o módulo do momento angular cresce como
(para mesma e ).
Passo 5
Calcular a energia cinética
do satélite na órbita circular.
- Fórmula da energia cinética para partícula:
. - Usando
:
Passo 6
Escrever a energia potencial gravitacional
com a referência
.
- Para interação gravitacional entre duas massas, a energia potencial é
- O sinal negativo indica que a energia é menor (negativa) quando as massas estão a uma distância finita — o sistema está ligado (bound) em relação à referência zero no infinito.
Passo 7
Somar energia cinética e potencial para obter a energia total
.
- Energia total:
- Simplificando:
- Interpretação física: a energia total negativa confirma que a órbita é ligada; o módulo da energia total é metade do módulo da energia potencial, que é uma propriedade clássica de órbitas circulares em potencial gravitacional.
Passo 8
Recapitulação curta (motivar e encorajar):
- Encontramos uma expressão direta e útil para o momento angular e para a energia total em termos das constantes do problema.
- Se estiver nervoso para a prova: memorize as formas comuns para órbitas circulares — velocidade
, momento angular e energia total . Essas aparecem sempre e valem a pena decorar com entendimento.