4.3(2,0)

Uma massa m=4.0 \mathrm{~kg} está conectado, como mostrado, por um fio leve a uma massa \Lambda I=6,0 \mathrm{~kg}, que desliza sobre uma superfície horizontal lisa. A polia gira em torno de um eixo sem atrito e tem raio R=0,12 m e momento de inércia I=0,090 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{2}. O cordão nāo escorrega na polia. Qual é o módulo da aceleração do bloco m ?
(a) 2.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
(b) 2.4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
(c) 3.9 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
(d) 4.2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
(e) 1,7 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema composto por duas massas m=4,0\;\mathrm{kg} (pendurada) e M=6,0\;\mathrm{kg} (sobre superfície lisa), conectadas por um fio que não desliza numa polia de raio R=0,12\;\mathrm{m} e momento de inércia I=0,090\;\mathrm{kg\cdot m^2}. Queremos o módulo da aceleração a do bloco m. Para isso vamos usar:
  • a segunda lei de Newton para cada massa;
  • a equação de torques para a polia (dinâmica rotacional).

Passo 2

Para a massa pendurada m, a aceleração será para baixo com módulo a. As forças são o peso para baixo e tensão T_1 para cima. Pela segunda lei de Newton:
m\,g - T_1 = m\,a

Passo 3

Para a massa M deslizando horizontalmente sem atrito, a única força na direção do movimento é a tensão T_2. Pela segunda lei de Newton:
T_2 = M\,a

Passo 4

Na polia, as tensões T_1 e T_2 criam torque resultante que gera aceleração angular \alpha = a/R. A equação de torques é
(T_1 - T_2)\,R = I\,\frac{a}{R}

Passo 5

Substituindo T_1 = m\,g - m\,a e T_2 = M\,a na equação de torques, obtemos
\bigl(m\,g - m\,a - M\,a\bigr)R = I\,\frac{a}{R}
ou seja
m\,g = a\Bigl(m + M + \frac{I}{R^2}\Bigr).
Agora calculamos numericamente:
\frac{I}{R^2}=\frac{0,090}{(0,12)^2}=6,25,
a=\frac{4,0\cdot9,8}{4,0+6,0+6,25}=\frac{39,2}{16,25}\approx2,41\;\mathrm{m/s^2}.

Resposta

Como a\approx2,4\;\mathrm{m/s^2}, corresponde à alternativa (b).

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