Calcule o torque sobre uma espira de corrente circular colocada em um campo magnético boldsymbol{B}.

Passo 1

O enunciado pede o torque sobre uma espira circular de raio R percorrida por uma corrente I, imersa num campo magnético uniforme \boldsymbol{B}. O conteúdo da matéria é magnetostática, em particular o cálculo de torque a partir da força de Lorentz num elemento de corrente. Vamos usar
  1. a expressão da força num elemento de corrente:
\mathrm{d}\boldsymbol{F}=I\,\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\times\boldsymbol{B},
  1. a definição de torque de um elemento:
\mathrm{d}\boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{r}\times\mathrm{d}\boldsymbol{F},
  1. simetria da espira circular para integrar ao longo de todo o contorno.

Passo 2

Parametrizamos a espira no plano perpendicular ao seu eixo, usando o ângulo \varphi medido a partir de um eixo qualquer neste plano. A posição de cada elemento sobre a circunferência é
\boldsymbol{r}=R\,\boldsymbol{e}_r(\varphi),
e o elemento de comprimento é
\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}=R\,\mathrm{d}\varphi\,\boldsymbol{e}_\varphi(\varphi).
A força num elemento vale então
\mathrm{d}\boldsymbol{F} =I\bigl(R\,\mathrm{d}\varphi\,\boldsymbol{e}_\varphi\bigr)\times\boldsymbol{B}.

Passo 3

O torque infinitesimal é
\mathrm{d}\boldsymbol{\tau} =\boldsymbol{r}\times\mathrm{d}\boldsymbol{F} =R\,\boldsymbol{e}_r \times\bigl[I\,R\,\mathrm{d}\varphi\,(\boldsymbol{e}_\varphi\times\boldsymbol{B})\bigr].
Pelo triplo produto vetorial
\boldsymbol{e}_r\times(\boldsymbol{e}_\varphi\times\boldsymbol{B}) =(\boldsymbol{e}_r\cdot\boldsymbol{B})\,\boldsymbol{e}_\varphi -(\boldsymbol{e}_r\cdot\boldsymbol{e}_\varphi)\,\boldsymbol{B} =(\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{e}_r)\,\boldsymbol{e}_\varphi,
pois \boldsymbol{e}_r\perp\boldsymbol{e}_\varphi. Logo
\mathrm{d}\boldsymbol{\tau} =I\,R^2\,(\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{e}_r)\,\boldsymbol{e}_\varphi\,\mathrm{d}\varphi.

Passo 4

Decompomos \boldsymbol{B} em componente paralela ao eixo da espira ( B_\parallel) e componente perpendicular ( B_\perp). Somente B_\perp contribui, pois \boldsymbol{B}_\parallel\cdot\boldsymbol{e}_r=0. Se \theta é o ângulo entre o vetor normal \boldsymbol{n} da espira e \boldsymbol{B}, então B_\perp=B\sin\theta. Integrando \varphi de 0 a 2\pi, pela simetria o valor resultante tem direção perpendicular ao plano da espira e magnitude
\tau =\int_0^{2\pi}I\,R^2\,B\sin\theta\,\underbrace{(\boldsymbol{e}_r\cdot\boldsymbol{e}_r)}_{1}\,\mathrm{d}\varphi =I\,R^2\,B\sin\theta\,(2\pi) =I\,(\pi R^2)\,B\sin\theta.

Passo 5

Reconhecemos a área da espira A=\pi R^2 e definimos o momento de dipolo magnético
\boldsymbol{\mu}=I\,A\,\boldsymbol{n}.
A direção de \boldsymbol{n} é tal que fica de acordo com a regra da mão direita seguindo o sentido da corrente.

Resposta

\boxed{\boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{\mu}\times\boldsymbol{B}, \quad\text{com}\quad \boldsymbol{\mu}=I\,\pi R^2\,\boldsymbol{n}, \quad \tau=I\,\pi R^2\,B\sin\theta.}

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