A massa molar de um gás é 60,0420 \mathrm{~kg} / \mathrm{mol}. (a) Ache o módulo da velocidade média das moléculas do gás a 621K. (b) Faça um esboço do gráfico de densidade de probabilidade x velocidade, representando a velocidade média quadrática, a velocidade mais provável e a velocidade média das moléculas.

Passo 1

O enunciado fornece massa molar
M = 60{,}0420\times10^{-3}\,\mathrm{kg/mol}
e temperatura
T = 621\,\mathrm{K}.
Na parte (a) vamos calcular a velocidade média \bar v das moléculas usando a distribuição de Maxwell–Boltzmann. Na parte (b) faremos um esboço qualiquantitativo da densidade de probabilidade f(v) em função de v, marcando as três velocidades características: a mais provável v_{mp}, a média \bar v e a quadrática média v_{rms}.

Passo 2

A expressão para a velocidade média segundo Maxwell–Boltzmann é
\bar v = \sqrt{\frac{8 k_B T}{\pi m}},
onde m é a massa de uma molécula. Como
m = \frac{M}{N_A},
substituímos k_B N_A = R e obtemos
\bar v = \sqrt{\frac{8 R T}{\pi M}}.

Passo 3

Substituindo
R = 8{,}3145\;\mathrm{J/(mol\,K)},\quad T = 621\;\mathrm{K},\quad M = 60{,}0420\times10^{-3}\;\mathrm{kg/mol},
temos
\bar v = \sqrt{\frac{8\cdot8{,}3145\cdot621}{\pi\cdot60{,}0420\times10^{-3}}} \approx 4{,}68\times10^{2}\,\mathrm{m/s}.

Passo 4

A densidade de probabilidade da velocidade na distribuição de Maxwell–Boltzmann é
f(v) =4\pi\Bigl(\frac{m}{2\pi k_B T}\Bigr)^{3/2}v^2\exp\Bigl(-\frac{m v^2}{2k_B T}\Bigr).
As três velocidades características são
v_{mp}=\sqrt{\frac{2RT}{M}},\quad \bar v=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}},\quad v_{rms}=\sqrt{\frac{3RT}{M}},
com a ordem numérica
v_{mp}<\bar v<v_{rms}.

Passo 5

O esboço de f(v) versus v é uma curva que parte de zero em v=0, cresce até um pico em v=v_{mp} e decai assintoticamente a zero quando v\to\infty. No eixo horizontal marque, da esquerda para a direita, as três velocidades v_{mp}, \bar v e v_{rms}, todas a partir do mesmo gráfico de f(v).

Resposta

(a) \displaystyle \bar v\approx4,68\times10^{2}\,\mathrm{m/s}.
(b) Esboço qualitativo de Maxwell: curva com máximo em v_{mp}, decaindo em v\to\infty, e marcadas em sequência as verticals
v_{mp}<\bar v<v_{rms}.

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