Diferença de potencial. Considere: \vec{E}=(y+1) \hat{a}_{x}+(x-1) \hat{a}_{y}+2 \hat{a}_{z}(\mathrm{~N} / \mathrm{C}).
(a) Verifique se é um campo conservativo.
(b) Explique o resultado do item (b) ao calcular a diferença de potencial entre os pontos (2,-2,-1) e (0,0,0).

Passo 1

O enunciado fornece o campo elétrico
\vec{E}=(y+1)\,\hat{a}_{x}+(x-1)\,\hat{a}_{y}+2\,\hat{a}_{z}
e pede (a) verificar se é conservativo (isto é, se existe função potencial V tal que \vec{E}=-\nabla V) e (b) explicar o resultado obtido ao calcular a diferença de potencial entre (2,-2,-1) e (0,0,0). Vamos usar o conceito de rotacional e integração de gradiente para resolver.

Passo 2

Para verificar conservatividade, calculamos o rotacional \nabla\times\vec{E}. Usando
\nabla\times\vec{E} =\begin{vmatrix} \hat{a}_x & \hat{a}_y & \hat{a}_z\\\ \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z\\\ y+1 & x-1 & 2 \end{vmatrix}
obtemos cada componente:
\partial E_z/\partial y-\partial E_y/\partial z=0-0=0,
\partial E_x/\partial z-\partial E_z/\partial x=0-0=0,
\partial E_y/\partial x-\partial E_x/\partial y=1-1=0.
Logo \nabla\times\vec{E}=\vec{0}.

Passo 3

Como \nabla\times\vec{E}=\vec{0} em todo o espaço, o campo é conservativo. Portanto existe uma função V(x,y,z) tal que
\vec{E}=-\nabla V.

Passo 4

Para achar V, resolvemos
\partial V/\partial x=-(y+1),
\partial V/\partial y=-(x-1),
\partial V/\partial z=-2.
Integrando a primeira:
V(x,y,z)=-xy - x + g(y,z).
Comparando \partial V/\partial y=-x+\partial g/\partial y com -(x-1)=-x+1 obtemos \partial g/\partial y=1, logo g(y,z)=y+h(z). Da terceira equação \mathrm{d}h/\mathrm{d}z=-2 segue h(z)=-2z+C. Tomando C=0 para V(0,0,0)=0, temos
V(x,y,z)=-xy - x + y - 2z.

Passo 5

Avaliaremos a diferença de potencial entre P_1=(2,-2,-1) e P_2=(0,0,0) como
\Delta V=V(P_1)-V(P_2) =V(2,-2,-1)-V(0,0,0) =\bigl[-(2)(-2)-2+(-2)-2(-1)\bigr]-0=2\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Essa diferença independe do caminho seguido entre P_1 e P_2 porque o campo é conservativo. Em campos conservativos o valor de \int \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell} depende apenas dos pontos de início e fim.

Resposta

(a) O campo é conservativo, pois \nabla\times\vec{E}=\vec{0}.
(b) A diferença de potencial entre (2,-2,-1) e (0,0,0) é 2 V, resultado independente do caminho devido à conservatividade do campo.

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