Diferença de potencial. Considere: \vec{E}=(y+1) \hat{a}_{x}+(x-1) \hat{a}_{y}+2 \hat{a}_{z}(\mathrm{~N} / \mathrm{C}).
(a) Verifique se é um campo conservativo.
(b) Explique o resultado do item (b) ao calcular a diferença de potencial entre os pontos (2,-2,-1) e (0,0,0).
e pede (a) verificar se é conservativo (isto é, se existe função potencial V tal que \vec{E}=-\nabla V) e (b) explicar o resultado obtido ao calcular a diferença de potencial entre (2,-2,-1) e (0,0,0). Vamos usar o conceito de rotacional e integração de gradiente para resolver.
Passo 2
Para verificar conservatividade, calculamos o rotacional \nabla\times\vec{E}. Usando
obtemos cada componente: \partial E_z/\partial y-\partial E_y/\partial z=0-0=0, \partial E_x/\partial z-\partial E_z/\partial x=0-0=0, \partial E_y/\partial x-\partial E_x/\partial y=1-1=0.
Logo \nabla\times\vec{E}=\vec{0}.
Passo 3
Como \nabla\times\vec{E}=\vec{0} em todo o espaço, o campo é conservativo. Portanto existe uma função V(x,y,z) tal que
\vec{E}=-\nabla V.
Passo 4
Para achar V, resolvemos \partial V/\partial x=-(y+1), \partial V/\partial y=-(x-1), \partial V/\partial z=-2.
Integrando a primeira:
V(x,y,z)=-xy - x + g(y,z).
Comparando \partial V/\partial y=-x+\partial g/\partial y com -(x-1)=-x+1 obtemos \partial g/\partial y=1, logo g(y,z)=y+h(z). Da terceira equação \mathrm{d}h/\mathrm{d}z=-2 segue h(z)=-2z+C. Tomando C=0 para V(0,0,0)=0, temos
V(x,y,z)=-xy - x + y - 2z.
Passo 5
Avaliaremos a diferença de potencial entre P_1=(2,-2,-1) e P_2=(0,0,0) como
Essa diferença independe do caminho seguido entre P_1 e P_2 porque o campo é conservativo. Em campos conservativos o valor de \int \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell} depende apenas dos pontos de início e fim.
Resposta
(a) O campo é conservativo, pois \nabla\times\vec{E}=\vec{0}.
(b) A diferença de potencial entre (2,-2,-1) e (0,0,0) é 2 V, resultado independente do caminho devido à conservatividade do campo.