A temperatura de 1,2 \mathrm{~mol} de um gás ideal com \epsilon_{v}=2 cal / \mathrm{mol} . \mathrm{K} é aumentada de 24 K, e o processo é conduzido a volume constante, qual é (a) o calor transferido para o gás no processo (b) a variação da energia cinética média de translação das moléculas do gás.

Passo 1

O enunciado trata de um gás ideal submetido a aquecimento a volume constante, ou seja, V= constante. Sabemos que, em um processo isocórico para gás ideal, todo o calor fornecido vai aumentar a energia interna do gás. Precisamos (a) calcular o calor \Delta Q fornecido e (b) determinar a variação da energia cinética média de translação de cada molécula.

Passo 2

Para n mols de gás ideal a volume constante, o calor trocado é dado por
\Delta Q = n\,C_{v}\,\Delta T,
onde C_{v} é a capacidade calorífica molar a volume constante e \Delta T a variação de temperatura.

Passo 3

Aqui n = 1,2\\ \mathrm{mol}, C_{v}=\epsilon_{v}=2\\ \mathrm{cal}/(\mathrm{mol}\cdot\mathrm{K}) e \Delta T=24\\ \mathrm{K}. Logo,
\Delta Q = 1,2 \times 2 \times 24 = 57,6\\ \mathrm{cal}.

Passo 4

A energia cinética média de translação de uma molécula de gás ideal vale
\bigl\langle E_{\mathrm{trans}}\bigr\rangle = \frac{3}{2}\,k_{B}\,T,
sendo k_{B} a constante de Boltzmann. A variação dessa energia média ao elevar a temperatura em \Delta T é
\Delta\bigl\langle E_{\mathrm{trans}}\bigr\rangle = \frac{3}{2}\,k_{B}\,\Delta T.

Passo 5

Substituindo k_{B}=1,38\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K} e \Delta T=24\\ \mathrm{K}, obtemos
\Delta\bigl\langle E_{\mathrm{trans}}\bigr\rangle = \frac{3}{2}\times1,38\times10^{-23}\times24 \approx4,97\times10^{-22}\\ \mathrm{J}.

Resposta

(a) 57{,}6\\ \mathrm{cal}.
(b) \displaystyle 4{,}97\times10^{-22}\\ \mathrm{J} (variação da energia cinética média de translação por molécula).

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