2^{\underline{a}} Questão: Duas barras, uma de cobre e outra de aço, têm comprimentos que diferem por 5,00 \mathrm{~cm} a 0^{\circ} \mathrm{C}. Ambas são aquecidas e esfriadas juntas. (a) É possível que a diferença de comprimento permaneça constante sob todas as temperaturas? Explique. (b) Se for possível, descreva os comprimentos a 0^{\circ} \mathrm{C} o mais precisamente possível. Você pode dizer qual barra é mais longa? E os comprimentos delas? Utilize que os coeficientes lineares de expansão térmica são \alpha_{\text {cobre }}=17 \times 10^{-6}\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)^{-1} e \alpha_{\text {aco }}=11 \times 10^{-6}\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)^{-1}.

Passo 1

O enunciado trata de dilatação linear de duas barras (cobre e aço) que a 0^\circ\text{C} diferem em 5,00,cm. Ambas variam de comprimento segundo
L_i(t)=L_{i0}\bigl(1+\alpha_i\,t\bigr),
onde L_{i0} é o comprimento a 0^\circ\text{C} e \alpha_i é o coeficiente de dilatação linear ( \alpha_{\rm cobre}=17\times10^{-6}\,^\circ\text{C}^{-1}, \alpha_{\rm aço}=11\times10^{-6}\,^\circ\text{C}^{-1}ç). Vamos ver sob que condição a diferença de comprimentos permanece constante.

Passo 2

Sejam L_{c}(t) o comprimento da barra de cobre e L_{a}(t) o da barra de aço em temperatura t. Então a diferença é
D(t)=L_{c}(t)-L_{a}(t) =L_{c0}(1+\alpha_{c}t)-L_{a0}(1+\alpha_{a}t) =(L_{c0}-L_{a0})+\bigl(L_{c0}\alpha_{c}-L_{a0}\alpha_{a}\bigr)\,t.
Para que D(t) seja independente de t, o termo que multiplica t deve ser zero:
L_{c0}\,\alpha_{c}-L_{a0}\,\alpha_{a}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{L_{c0}}{L_{a0}}=\frac{\alpha_{a}}{\alpha_{c}}.

Passo 3

A razão exigida é
\frac{L_{c0}}{L_{a0}}=\frac{\alpha_{a}}{\alpha_{c}} =\frac{11\times10^{-6}}{17\times10^{-6}} =\frac{11}{17}.
Além disso, a diferença a 0^\circ\text{C} vale \lvert L_{c0}-L_{a0}\rvert=5{,}00,cm. Como 11/17<1, conclui-se que L_{a0}>L_{c0} e
L_{a0}-L_{c0}=5{,}00\text{ cm}.

Passo 4

Do sistema
\begin{cases} L_{c0}/L_{a0}=11/17,\\\ L_{a0}-L_{c0}=5{,}00, \end{cases}
temos L_{c0}=(11/17)L_{a0}. Substituindo na segunda equação:
L_{a0}-\frac{11}{17}L_{a0}=5{,}00 \quad\Longrightarrow\quad \frac{6}{17}L_{a0}=5{,}00 \quad\Longrightarrow\quad L_{a0}=\frac{5\cdot17}{6}= \frac{85}{6}\approx14{,}17\text{ cm}.
Então
L_{c0}=\frac{11}{17}L_{a0}=\frac{11}{17}\cdot\frac{85}{6}=\frac{55}{6}\approx9{,}17\text{ cm}.

Passo 5

Concluímos que é possível manter a diferença de 5{,}00,cm para toda temperatura somente se
L_{c0}\alpha_{c}=L_{a0}\alpha_{a},
o que exige L_{c0}/L_{a0}=11/17. Nesse caso a barra de aço é a mais longa a 0^\circ\text{C}, com
L_{a0}\approx14{,}17\text{ cm}, \quad L_{c0}\approx9{,}17\text{ cm}.

Resposta

(a) Sim. A diferença permanece constante se e só se
L_{c0}\,\alpha_{c}=L_{a0}\,\alpha_{a},
isto é, L_{c0}/L_{a0}=\alpha_{a}/\alpha_{c}.
(b) Os comprimentos a 0^\circ\text{C} são
L_{\rm cobre}=9{,}17\text{ cm}, \quad L_{\rm aço}=14{,}17\text{ cm},ç
logo a barra de aço é a mais longa.

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