Uma massa pesando 16 libras distende uam mola em 8 / 3 pés. A massa é inicialmente solta do repouso no ponto 2 pés abaixo da posição de equilibrio. O movimento subsequente tem lugar em um meio que oferece uma força de amortecimento igual 1 / 2 da velocidade instantânea. Qual é a equação do movimento se a massa sofre a ação de uma força externa igual a 10cos 3t?

Passo 1

O enunciado pede a equação do movimento de um sistema massa-mola-amortecedor sujeito à força externa 10 cos 3t. O conteúdo aqui é EDO linear de segunda ordem não homogênea com amortecimento. Vamos precisar: massa (m), constante elástica (k), coeficiente de amortecimento (b), montar a EDO m x’’+b x’+k x=F_ext e resolver com as condições iniciais x(0)=2 ft (abaixo do eq.) e x’(0)=0.

Passo 2

Dados: peso W=16 lb ⇒ massa m=W/g=16/32=1/2 slug. A mola estica Δx=8/3 ft sob W, logo k=W/Δx=16/(8/3)=6 lb/ft. O amortecimento é b=1/2 (força=b v).

Passo 3

A EDO fica
tfrac12,x''+tfrac12,x'+6,x=10cos3t
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
x''+x'+12x=20cos3t

Passo 4

Resolvemos primeiro a parte homogênea x’’+x’+12x=0. A equação característica é
r^2+r+12=0
com raízes
r=-1pmraiz1-482=-1pm iraiz472
Logo a solução homogênea é
xh(t)=e^-t/2l(C1cos(tfracraiz472t)+C2sin(tfracraiz472t)r)

Passo 5

Para a particular, chutamos x_p=A\cos3t+B\sin3t e derivamos:
xp''=-9Acos3t-9Bsin3t,
xp'=-3Asin3t+3Bcos3t
Substituindo em x’’+x’+12x=20\cos3t e igualando coeficientes de cos 3t e sin 3t, obtemos o sistema
3(A+B)=20,
3(B-A)=0,
cuja solução é A=B=10/3. Assim
xp(t)=103(cos3t+sin3t)

Passo 6

A solução geral é a soma
x(t)=e^-t/2l(C1cos(tfracraiz472t)+C2sin(tfracraiz472t)r)+103(cos3t+sin3t)

Passo 7

Agora aplicamos x(0)=2:
x(0)=C1+103=2Longrightarrow C1=2-103=-43
E x’(0)=0. Calculando x’(t) e avaliando em t=0 leva a
C2=-643raiz47

Passo 8

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, obtemos a equação de movimento final:

Resposta

$$
x(t)=e^{-t/2}\Bigl(-\tfrac{4}{3}\cos\bigl(\tfrac{\sqrt{47}}{2}t\bigr)-\tfrac{64}{3\sqrt{47}}\sin\bigl(\tfrac{\sqrt{47}}{2}t\bigr)\Bigr)+\tfrac{10}{3}\bigl(\cos3t+\sin3t\bigr).$$

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