Uma massa pesando 16 libras distende uam mola em
pés. A massa é inicialmente solta do repouso no ponto 2 pés abaixo da posição de equilibrio. O movimento subsequente tem lugar em um meio que oferece uma força de amortecimento igual
da velocidade instantânea. Qual é a equação do movimento se a massa sofre a ação de uma força externa igual a 10cos 3t?
Passo 1
O enunciado pede a equação do movimento de um sistema massa-mola-amortecedor sujeito à força externa 10 cos 3t. O conteúdo aqui é EDO linear de segunda ordem não homogênea com amortecimento. Vamos precisar: massa (m), constante elástica (k), coeficiente de amortecimento (b), montar a EDO m x’’+b x’+k x=F_ext e resolver com as condições iniciais x(0)=2 ft (abaixo do eq.) e x’(0)=0.
Passo 2
Dados: peso W=16 lb ⇒ massa m=W/g=16/32=1/2 slug. A mola estica Δx=8/3 ft sob W, logo k=W/Δx=16/(8/3)=6 lb/ft. O amortecimento é b=1/2 (força=b v).
Passo 3
A EDO fica
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Passo 4
Resolvemos primeiro a parte homogênea x’’+x’+12x=0. A equação característica é
com raízes
Logo a solução homogênea é
Passo 5
Para a particular, chutamos x_p=A\cos3t+B\sin3t e derivamos:
Substituindo em x’’+x’+12x=20\cos3t e igualando coeficientes de cos 3t e sin 3t, obtemos o sistema
cuja solução é A=B=10/3. Assim
Passo 6
A solução geral é a soma
Passo 7
Agora aplicamos x(0)=2:
E x’(0)=0. Calculando x’(t) e avaliando em t=0 leva a
Passo 8
Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, obtemos a equação de movimento final:
Resposta
$$
x(t)=e^{-t/2}\Bigl(-\tfrac{4}{3}\cos\bigl(\tfrac{\sqrt{47}}{2}t\bigr)-\tfrac{64}{3\sqrt{47}}\sin\bigl(\tfrac{\sqrt{47}}{2}t\bigr)\Bigr)+\tfrac{10}{3}\bigl(\cos3t+\sin3t\bigr).$$