Uma massa pesando 64 libras presa a uma extremidade da mola distende-a em 0,32 pé. A massa é inicialmente solta de um ponto 8 polegadas acima da posição de equilíbrio a uma velocidade de 5 pés/s para baixo.
a) Determine a equação do movimento.
b) Qual é a amplitude e o período do movimento?
c) Quantas ciclos completos a massa concluirá após
segundos?
d) Em que instante a massa passa pela posição de equilíbrio, dirigindo-se para baixo pela segunda vez?
e) Em que instante a massa atinge seu deslocamento extremo em ca líbrio?
a) Determine a equação do movimento.
b) Qual é a amplitude e o período do movimento?
c) Quantas ciclos completos a massa concluirá após
d) Em que instante a massa passa pela posição de equilíbrio, dirigindo-se para baixo pela segunda vez?
e) Em que instante a massa atinge seu deslocamento extremo em ca líbrio?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as seguintes coisas.
Dados:
- Uma massa que pesa
libras presa a uma mola estende-a pé. - A massa é solta de um ponto
polegadas acima da posição de equilíbrio com velocidade inicial de pés/s para baixo.
Perguntas:
a) Determine a equação do movimento (deslocamento a partir do equilíbrio).
b) Determine a amplitude e o período do movimento.
c) Quantos ciclos completos a massa concluirá após segundos?
d) Em que instante a massa passa pela posição de equilíbrio, dirigindo-se para baixo, pela segunda vez?
e) Em que instante a massa atinge seu deslocamento extremo (máximo afastamento) pela primeira vez?
a) Determine a equação do movimento
b) Determine a amplitude e o período do movimento.
c) Quantos ciclos completos a massa concluirá após
d) Em que instante a massa passa pela posição de equilíbrio, dirigindo-se para baixo, pela segunda vez?
e) Em que instante a massa atinge seu deslocamento extremo (máximo afastamento) pela primeira vez?
Observações sobre unidades (dados que vou usar ao resolver):
polegadas
pé
pé. Vou tomar a convenção positiva para baixo (ou seja,
indica deslocamento para baixo a partir da posição de equilíbrio).
Passo 2
Converter unidades e achar massa
e constante da mola
.
Explicação curta (Hooke e peso → massa):
- Hooke: força elástica
, sendo a constante da mola (unidade: lb/ft aqui). - O peso da massa é
lb; em unidades inglesas a relação entre peso e massa é com ft/s . Assim a massa (em slugs) é
- A mola se alonga
pé sob o peso lb, então por Hooke
Resumo numérico que vou usar:
Passo 3
Montar a equação diferencial do movimento e identificar a frequência angular.
Sem atrito (os dados não mencionam amortecimento), a equação para deslocamento
em torno do equilíbrio é
Substituindo
e
numéricos:
Dividindo por
:
Isto é um oscilador harmônico simples com
, portanto
Passo 4
Resolver a EDO e aplicar as condições iniciais (aqui começa a calcular a solução específica).
Solução geral da EDO
é
Com
:
Condições iniciais (convertidas para pés e sinais conforme convenção positiva para baixo):
- Posição inicial:
polegadas acima do equilíbrio pé (negativo porque é acima). - Velocidade inicial:
ft/s para baixo .
Aplicar
.
Derivando:
Logo
, portanto
Assim a solução particular fica
Passo 5
Colocar a solução em forma de amplitude-fase e extrair amplitude e período (aulas rápidas junto).
Forma amplitude-fase: qualquer
pode ser escrita como
onde
e
satisfaz
.
Calcular a amplitude
:
Período
do movimento:
segundos.
Observação didática rápida: amplitude é o máximo afastamento da posição de equilíbrio; período é o tempo para um ciclo completo.
Passo 6
Responder c) número de ciclos completos em
segundos.
Número de ciclos
Portanto completa exatamente
ciclos em
segundos.
Passo 7
Determinar os instantes em que a massa passa pela posição de equilíbrio (
) e escolher o segundo instante em que está dirigindo-se para baixo (questão d). Ensino rápido como checar direção usando a velocidade.
Resolver
:
Rearranjando:
Logo as soluções gerais são
ou
Agora precisamos escolher entre essas passagens quais têm velocidade positiva (para baixo). A velocidade é
Para testar o sinal em
usamos que, para
, sabemos as razões trigonométricas (triângulo 3-4-5):
Para
(ou
par) a velocidade vale
ou seja, movimento para baixo. Para
ímpar o seno e cosseno trocam de sinal e a velocidade será negativa (movimento para cima). Assim as passagens por
dirigindo-se para baixo acontecem para índices
A primeira passagem para baixo é com
:
A segunda passagem para baixo é com
:
Valor numérico aproximado (pra você ter noção):
Passo 8
Determinar os instantes de deslocamento extremo (questão e). Duas abordagens equivalentes: (i) resolver
ou (ii) usar forma amplitude-fase. Vou usar amplitude-fase porque gera respostas limpas.
Já achamos a amplitude
. Calcular a fase
a partir de
Isto corresponde a um ângulo
no segundo quadrante com
Portanto podemos escrever
Deslocamentos extremos ocorrem quando o cosseno vale
. O máximo (deslocamento extremo positivo de
) ocorre quando
, ou seja
A primeira ocorrência (primeiro máximo) corresponde a
:
Valor numérico aproximado:
(Isto coincide com o resultado de resolver
e escolher o primeiro tempo positivo em que a derivada muda sinal apropriado.)
Resposta
a)
pé.
b) Amplitude
pé; Período
s.
c)
ciclos completos.
d) A segunda passagem pela posição de equilíbrio dirigindo-se para baixo ocorre em
e) O primeiro instante em que a massa atinge seu deslocamento extremo (máximo) é