Uma massa pesando 900 g estica uma mola de 15 cm . Se a massa é puxada
adicionais para baixo e depois é solta, e se não há amortecimento, determine a posição
da massa em qualquer instante
. Encontre a frequência, o período e a amplitude do movimento.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um sistema massa-mola, onde uma massa de 900 g estica uma mola em 15 cm. A gente precisa descobrir a posição da massa em qualquer instante de tempo quando ela é puxada mais 7,5 cm e solta, sem considerar o amortecimento. Além disso, vamos encontrar a frequência, o período e a amplitude desse movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que estamos lidando com movimento harmônico simples (MHS), que é um tipo de movimento periódico onde a força restauradora é proporcional ao deslocamento. Aqui, a mola exerce essa força sobre a massa.
Passo 3
Vamos converter os valores para unidades do Sistema Internacional (SI):
- Massa $ m = 900 , g = 0,9 , kg $
- Estiramento inicial $ x = 15 , cm = 0,15 , m $
- Deslocamento adicional $ A = 7,5 , cm = 0,075 , m $
Passo 4
Para encontrar a constante da mola $ k $, usamos a relação da força gravitacional $ F = m \cdot g $ que equilibra a força da mola $ F = k \cdot x $:
Aqui, $ g = 9,8 , m/s^2 $ (aceleração da gravidade).
Passo 5
Calculando $ k $:
Passo 6
Agora, para encontrar a posição $ s(t) $ da massa em qualquer instante $ t $, usamos a equação do MHS:
Onde:
- $ A $ é a amplitude (7,5 cm ou 0,075 m),
- $ \omega $ é a frequência angular,
- $ \phi $ é a fase inicial. Como a massa é solta a partir do deslocamento máximo, $ \phi = 0 $.
Então, a equação fica:
Passo 7
Para encontrar $ \omega $, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 8
A frequência $ f $ está relacionada com $ \omega $ por:
Então:
Passo 9
O período $ T $ é o inverso da frequência:
Resposta
A posição da massa em qualquer instante $ t $ é dada por:
A frequência do movimento é aproximadamente $ 1,29 , Hz $, o período é cerca de $ 0,775 , s $, e a amplitude do movimento é $ 7,5 , cm $.