Uma massa pesando 900 g estica uma mola de 15 cm . Se a massa é puxada 7,5 cm adicionais para baixo e depois é solta, e se não há amortecimento, determine a posição s da massa em qualquer instante t. Encontre a frequência, o período e a amplitude do movimento.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um sistema massa-mola, onde uma massa de 900 g estica uma mola em 15 cm. A gente precisa descobrir a posição da massa em qualquer instante de tempo quando ela é puxada mais 7,5 cm e solta, sem considerar o amortecimento. Além disso, vamos encontrar a frequência, o período e a amplitude desse movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que estamos lidando com movimento harmônico simples (MHS), que é um tipo de movimento periódico onde a força restauradora é proporcional ao deslocamento. Aqui, a mola exerce essa força sobre a massa.

Passo 3

Vamos converter os valores para unidades do Sistema Internacional (SI):
  • Massa $ m = 900 , g = 0,9 , kg $
  • Estiramento inicial $ x = 15 , cm = 0,15 , m $
  • Deslocamento adicional $ A = 7,5 , cm = 0,075 , m $

Passo 4

Para encontrar a constante da mola $ k $, usamos a relação da força gravitacional $ F = m \cdot g $ que equilibra a força da mola $ F = k \cdot x $:
k
F = m cdot g
Aqui, $ g = 9,8 , m/s^2 $ (aceleração da gravidade).

Passo 5

Calculando $ k $:
k
k = 0,9 , kg cdot 9,8 , m/s^20,15 , m
k = 8,820,15

Passo 6

Agora, para encontrar a posição $ s(t) $ da massa em qualquer instante $ t $, usamos a equação do MHS:
s(t)
Onde:
  • $ A $ é a amplitude (7,5 cm ou 0,075 m),
  • $ \omega $ é a frequência angular,
  • $ \phi $ é a fase inicial. Como a massa é solta a partir do deslocamento máximo, $ \phi = 0 $.
Então, a equação fica:
t

Passo 7

Para encontrar $ \omega $, usamos a fórmula:
omega
Substituindo os valores:
omega = raizkm
omega = raiz58,8 , N/m0,9 , kg
omega = raiz65,333

Passo 8

A frequência $ f $ está relacionada com $ \omega $ por:
f
Então:
omega
f = omega2pi
f = 8,082 cdot 3,1416

Passo 9

O período $ T $ é o inverso da frequência:
T
T = 1f
T = 11,29

Resposta

A posição da massa em qualquer instante $ t $ é dada por:
t
A frequência do movimento é aproximadamente $ 1,29 , Hz $, o período é cerca de $ 0,775 , s $, e a amplitude do movimento é $ 7,5 , cm $.

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