Uma massa pesando 2 kg distende de uma mola em 6 cm . No instante t=0, a massa é solta de um ponto a 8 cm abaixo da posição de equilíbrio com uma velocidade direcionada para cima de 25 cm / s. Determine a função x(t) que descreve o movimento livre subseqüente.
Resposta: x(t)=(2 / 3) cos 8 t-(1 / 6) sen(8 t)

Passo 1

Na questão temos uma massa de 2 kg que estica a mola 6 cm no equilíbrio estático e, a partir daí, é solta 8 cm abaixo do equilíbrio com velocidade inicial de 25 cm/s para cima. O conteúdo é movimento harmônico simples de mola sem amortecimento e vamos precisar de: (1) constante elástica k via equilíbrio estático, (2) frequência angular ω, (3) solução geral da EDO e (4) condições iniciais para achar A e B.

Passo 2

Do equilíbrio estático sabe-se que o peso iguala a força elástica:
m g = k d
Logo,
k = m gd

Passo 3

Substituindo os valores (m = 2 kg, g = 9{,}8 m/s², d = 0{,}06 m) obtemos:
k = 2cdot9,80,06approx326,67 N/m
A equação do movimento livre é
m,ddot x + k,x = 0

Passo 4

A solução geral da EDO é
x(t)=Acos(omega t)+Bsin(omega t),
com
omega=raizkm=raiz326,672approx12,78 s^-1

Passo 5

Agora aplicamos as condições iniciais. Tomando x positivo para cima em relação ao equilíbrio:
— Deslocamento inicial: 8 cm abaixo do equilíbrio ⇒ ,x(0)=−0{,}08 m ⇒ A=−0{,}08.
— Velocidade inicial: 25 cm/s para cima ⇒ \dot x(0)=+0{,}25 m/s. Da derivada da solução geral,
dot x(t)=-A,omegasin(omega t)+B,omegacos(omega t),
em t=0 temos
dot x(0)=B,omega=0,25 Longrightarrow B=0,2512,78approx0,0196

Passo 6

Substituindo A e B na solução geral, obtemos finalmente:
x(t)=-0,08cos(12,78,t)+0,0196sin(12,78,t)

Resposta

x(t)=-0,08cos(12,78,t)+0,0196sin(12,78,t)

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