Uma massa pesando 2 kg distende de uma mola em 6 cm . No instante
, a massa é solta de um ponto a 8 cm abaixo da posição de equilíbrio com uma velocidade direcionada para cima de
. Determine a função
que descreve o movimento livre subseqüente.
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Na questão temos uma massa de 2 kg que estica a mola 6 cm no equilíbrio estático e, a partir daí, é solta 8 cm abaixo do equilíbrio com velocidade inicial de 25 cm/s para cima. O conteúdo é movimento harmônico simples de mola sem amortecimento e vamos precisar de: (1) constante elástica k via equilíbrio estático, (2) frequência angular ω, (3) solução geral da EDO e (4) condições iniciais para achar A e B.
Passo 2
Do equilíbrio estático sabe-se que o peso iguala a força elástica:
Logo,
Passo 3
Substituindo os valores (m = 2 kg, g = 9{,}8 m/s², d = 0{,}06 m) obtemos:
A equação do movimento livre é
Passo 4
A solução geral da EDO é
com
Passo 5
Agora aplicamos as condições iniciais. Tomando x positivo para cima em relação ao equilíbrio:
— Deslocamento inicial: 8 cm abaixo do equilíbrio ⇒ ,x(0)=−0{,}08 m ⇒ A=−0{,}08.
— Velocidade inicial: 25 cm/s para cima ⇒ \dot x(0)=+0{,}25 m/s. Da derivada da solução geral,
— Deslocamento inicial: 8 cm abaixo do equilíbrio ⇒ ,x(0)=−0{,}08 m ⇒ A=−0{,}08.
— Velocidade inicial: 25 cm/s para cima ⇒ \dot x(0)=+0{,}25 m/s. Da derivada da solução geral,
em t=0 temos
Passo 6
Substituindo A e B na solução geral, obtemos finalmente: