Use integral tripla para determinar o volume do sólido dado pelo tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano 4 x+2 y+2 z=16.

Passo 1

Neste exercício vamos calcular o volume do tetraedro determinado pelos planos coordenados e pelo plano 4x+2y+2z=16. O conteúdo é volume via integral tripla em coordenadas cartesianas, e precisaremos montar corretamente os limites de integração a partir da geometria da região.

Passo 2

Primeiro, isolamos z na equação do plano para encontrar o limite superior de integração em z. Da equação
4x + 2y + 2z = 16
segue que
z = 8 - 2x - y

Passo 3

Como o sólido está no primeiro octante, temos x>=0, y>=0 e z>=0. A condição z0 implica
8 - 2x - y  0 ,Rightarrow, y  8 - 2x 
Para que 8-2x seja não negativo precisamos x 0 e x 4. Logo a projeção D no plano xy é
0 <= x <= 4, 0 <= y <= 8 - 2x

Passo 4

Montamos a integral tripla para o volume:
V = integralx=0^4 integraly=0^8-2x integralz=0^8-2x-y dz,dy,dx
Integramos primeiro em z:
integral0^8-2x-y dz = 8 - 2x - y
Em seguida integramos em y:
integral0^8-2x (8 - 2x - y),dy = [(8-2x)y - y^22]0^8-2x = (8-2x)^22

Passo 5

Por fim, integramos em x:
V = integral0^4 (8-2x)^22,dx = 12 integral0^4 (64 - 32x + 4x^2),dx
Calculando essa integral:
12l[64x - 16x^2 + 43x^3r]0^4 = 12l(256 - 256 + 2563r) = 1283

Resposta

128/3

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