Use integral tripla para determinar o volume do sólido dado pelo tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano
.
Passo 1
Neste exercício vamos calcular o volume do tetraedro determinado pelos planos coordenados e pelo plano
. O conteúdo é volume via integral tripla em coordenadas cartesianas, e precisaremos montar corretamente os limites de integração a partir da geometria da região.
Passo 2
Primeiro, isolamos
na equação do plano para encontrar o limite superior de integração em
. Da equação
segue que
Passo 3
Como o sólido está no primeiro octante, temos
,
e
. A condição
implica
Para que
seja não negativo precisamos
e
. Logo a projeção
no plano
é
Passo 4
Montamos a integral tripla para o volume:
Integramos primeiro em
:
Em seguida integramos em
:
Passo 5
Por fim, integramos em
:
Calculando essa integral:
Resposta
128/3