Resolva as equações diferenciais de 1^a ordem lineares:
d yd x+y cot g x=5 e^cos x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem linear: dydx + y cot(gx) = 5 e^cos x. Esse tipo de equação envolve encontrar uma função y(x) que satisfaça essa relação. Para resolver, vamos precisar usar o fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e facilitar a solução.

Passo 2

Primeiro, identificamos os termos da nossa equação na forma padrão de uma equação diferencial linear: dydx + P(x)y = Q(x). Aqui, P(x) = cot(gx) e Q(x) = 5 e^cos x. O próximo passo é encontrar o fator integrante mu(x), que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral cot(gx) dx

Passo 3

Vamos calcular a integral para encontrar o fator integrante:
integral cot(gx) dx = 1g ln|sin(gx)| + C
Então, o fator integrante é:
mu(x) = e^1g ln|sin(gx)| = |sin(gx)|^1g
Para simplificar, podemos ignorar o valor absoluto, já que estamos trabalhando com funções contínuas:
mu(x) = sin(gx)^1g

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante mu(x):
sin(gx)^1g dydx + y sin(gx)^1g cot(gx) = 5 e^cos x sin(gx)^1g
A esquerda da equação agora é a derivada do produto mu(x)y:
ddx ( sin(gx)^1g y ) = 5 e^cos x sin(gx)^1g

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x:
sin(gx)^1g y = integral 5 e^cos x sin(gx)^1g dx + C
Infelizmente, a integral do lado direito pode não ter uma solução em termos de funções elementares. Portanto, expressamos a solução geral da equação diferencial como:
y(x) = sin(gx)^-1g ( integral 5 e^cos x sin(gx)^1g dx + C )

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = sin(gx)^-1g ( integral 5 e^cos x sin(gx)^1g dx + C )

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