Verifique se a equação diferencial é exata, se for, resolva.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a equação diferencial é exata e, caso seja, resolvê‑la. A equação dada é
Informações explícitas que temos:
- O coeficiente de
é . - O coeficiente de
é . - A tarefa: verificar exatidão; se for exata, encontrar a solução (uma função potencial
tal que descreva a solução).
Passo 2
O que significa “exata” (explicação didática e passo a passo):
- Escrevemos a equação na forma padrão
- A equação é exata se existir uma função
tal que . Isso ocorre exatamente quando as derivadas parciais cruzadas coincidem:
- Por que isso? Se
, então e . Diferenciando em relação a e em relação a e usando a igualdade das segundas derivadas mistas (Teorema de Schwarz) obtemos a condição acima. - Portanto, para verificar exatidão basta identificar
e e calcular e .
Passo 3
Colocando a equação na forma
(passo algébrico mínimo):
- Subtraindo o termo do lado direito, obtemos
- Assim podemos identificar
Passo 4
Calculando as derivadas parciais (mostrar cada termo devagar):
- Derivada parcial de
em relação a : -
. -
(porque depende só de ). -
(tratamos como constante). - Somando:
-
- Derivada parcial de
em relação a : -
. -
. -
. - Logo
-
Passo 5
Comparação e conclusão (com incentivo):
- Comparando as duas derivadas parciais obtidas:
- Como
(a diferença é exatamente ), a condição de exatidão não é satisfeita. - Conclusão: a equação diferencial NÃO é exata. Calma — isso não é o fim do mundo: podemos tentar integrar fator ou tratar como EDO linear, mas a verificação de exatidão é negativa.
Resposta
A equação diferencial não é exata.