Verifique se a equação diferencial é exata, se for, resolva.
\left(2 y-\ln x+\frac{y}{x}\right) d x=(1-\ln x) d y

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação diferencial é exata e, caso seja, resolvê‑la. A equação dada é
\left(2 y-\ln x+\frac{y}{x}\right) d x=(1-\ln x) d y.
Informações explícitas que temos:
  • O coeficiente de d x é 2y-\ln x+\dfrac{y}{x}.
  • O coeficiente de d y é 1-\ln x.
  • A tarefa: verificar exatidão; se for exata, encontrar a solução (uma função potencial \varphi(x,y) tal que d\varphi=0 descreva a solução).

Passo 2

O que significa “exata” (explicação didática e passo a passo):
  • Escrevemos a equação na forma padrão
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0.
  • A equação é exata se existir uma função \varphi(x,y) tal que d\varphi=M\,dx+N\,dy. Isso ocorre exatamente quando as derivadas parciais cruzadas coincidem:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
  • Por que isso? Se d\varphi=M\,dx+N\,dy, então \partial\varphi/\partial x=M e \partial\varphi/\partial y=N. Diferenciando \partial\varphi/\partial x em relação a y e \partial\varphi/\partial y em relação a x e usando a igualdade das segundas derivadas mistas (Teorema de Schwarz) obtemos a condição acima.
  • Portanto, para verificar exatidão basta identificar M e N e calcular \partial M/\partial y e \partial N/\partial x.

Passo 3

Colocando a equação na forma M\,dx+N\,dy=0 (passo algébrico mínimo):
  • Subtraindo o termo do lado direito, obtemos
\left(2 y-\ln x+\frac{y}{x}\right) dx - (1-\ln x)\,dy=0.
  • Assim podemos identificar
M(x,y)=2y-\ln x+\frac{y}{x}, \qquad N(x,y)=-(1-\ln x)=\ln x-1.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais (mostrar cada termo devagar):
  • Derivada parcial de M em relação a y:
    • \partial(2y)/\partial y = 2.
    • \partial(-\ln x)/\partial y = 0 (porque \ln x depende só de x).
    • \partial\big(y/x\big)/\partial y = 1/x (tratamos x como constante).
    • Somando:
    \frac{\partial M}{\partial y}=2+\frac{1}{x}.
  • Derivada parcial de N em relação a x:
    • N(x,y)=\ln x-1.
    • \partial(\ln x)/\partial x = \dfrac{1}{x}.
    • \partial(-1)/\partial x = 0.
    • Logo
    \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{1}{x}.

Passo 5

Comparação e conclusão (com incentivo):
  • Comparando as duas derivadas parciais obtidas:
\frac{\partial M}{\partial y}=2+\frac{1}{x},\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{1}{x}.
  • Como 2+\dfrac{1}{x}\neq\dfrac{1}{x} (a diferença é exatamente 2), a condição de exatidão \partial M/\partial y=\partial N/\partial x não é satisfeita.
  • Conclusão: a equação diferencial NÃO é exata. Calma — isso não é o fim do mundo: podemos tentar integrar fator ou tratar como EDO linear, mas a verificação de exatidão é negativa.

Resposta

A equação diferencial não é exata.

Exercícios relacionados