Uma massa presa a uma mola ideal executa um MHS com período de oscilação de
. Em seguida, o mesmo conjunto massa mola é colocado para oscilar em um meio onde passa a realizar um movimento harmônico Subamortecido, com uma força viscosa proporcional à sua velocidade. Após
de movimento, a amplitude de oscilação foi reduzida para
de seu valor inicial. Apresente as contas e resultado com 2 casas decimais.
a. (1,0 ponto) Mostre que o o valor do parâmetro de amortecimento do meio vale
.
b. ( 1,0 ponto) Determine o período de oscilação do sistema amortecido.
a. (1,0 ponto) Mostre que o o valor do parâmetro de amortecimento do meio vale
b. ( 1,0 ponto) Determine o período de oscilação do sistema amortecido.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (valores extraídos do enunciado):
- Período do oscilador sem atrito:
. - Após
no meio viscoso (subamortecido), a amplitude ficou do valor inicial, ou seja . - Pede-se:
a) mostrar que o parâmetro de amortecimento é;
b) determinar o período de oscilação do sistema amortecido (espera-se).
Passo 2
Entendendo a lei de decaimento da amplitude (explicação didática, sem pular etapas).
Para um sistema harmônico subamortecido, a equação do movimento (na convenção usada aqui) é
onde:
-
é a aceleração, -
é a velocidade, -
é a pulsação angular do oscilador não amortecido, -
é o parâmetro de amortecimento (com dimensões ).
As raízes da equação característica são
com
quando
(caso subamortecido). A solução geral é
Da solução vê-se que a amplitude (envelope) decai exponencialmente como
. Essa é a expressão que liga a redução percentual da amplitude ao parâmetro
.
(Observação pedagógica rápida: algumas convenções escrevem a equação com coeficiente
em vez de
; aqui usamos a notação com
para que o decaimento da amplitude seja exatamente
.)
Passo 3
Determinar
a partir do decaimento de amplitude dado.
A relação entre amplitudes é
Para
e
temos
Tomando logaritmo natural:
Portanto
Agora computar numericamente (mostrando contas):
Arredondando para duas casas decimais:
Passo 4
Calcular a pulsação angular do oscilador não amortecido
a partir do período
.
A relação entre período e pulsação é
Com
obtemos
Passo 5
Calcular a pulsação angular amortecida
.
Usa-se a fórmula (já indicada):
Substituindo os valores numéricos:
Passo 6
Determinar o período do sistema amortecido
.
A relação entre período amortecido e
é
Substituindo
:
Arredondando para duas casas decimais:
Passo 7
Resumo rápido e encorajamento: encontramos
diretamente do decaimento exponencial da amplitude e depois usamos
para achar o período amortecido. Ótimo trabalho em acompanhar os passos — você consegue aplicar isso na prova sem dificuldade se reproduzir as fórmulas e os cálculos essenciais.
Resposta
a)
b)
b)