Uma massa presa a uma mola ideal executa um MHS com período de oscilação de 2,00 s. Em seguida, o mesmo conjunto massa mola é colocado para oscilar em um meio onde passa a realizar um movimento harmônico Subamortecido, com uma força viscosa proporcional à sua velocidade. Após 3,0 s de movimento, a amplitude de oscilação foi reduzida para 20 \% de seu valor inicial. Apresente as contas e resultado com 2 casas decimais.
a. (1,0 ponto) Mostre que o o valor do parâmetro de amortecimento do meio vale \gamma=0,54 s^{-1}.
b. ( 1,0 ponto) Determine o período de oscilação do sistema amortecido.
\mathrm{R}: \mathrm{T}=2,03 \mathrm{~s}

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (valores extraídos do enunciado):
  • Período do oscilador sem atrito: T_0 = 2{,}00\\ \text{s}.
  • Após t=3{,}0\\ \text{s} no meio viscoso (subamortecido), a amplitude ficou 20\% do valor inicial, ou seja A(3{,}0)=0{,}20\,A_0.
  • Pede-se:
    a) mostrar que o parâmetro de amortecimento é \gamma=0{,}54\\ \text{s}^{-1};
    b) determinar o período de oscilação do sistema amortecido (espera-se T\approx2{,}03\\ \text{s}).

Passo 2

Entendendo a lei de decaimento da amplitude (explicação didática, sem pular etapas).
Para um sistema harmônico subamortecido, a equação do movimento (na convenção usada aqui) é
\ddot{x} + 2\gamma\dot{x} + \omega_0^2 x = 0,
onde:
  • \ddot{x} é a aceleração,
  • \dot{x} é a velocidade,
  • \omega_0 é a pulsação angular do oscilador não amortecido,
  • \gamma é o parâmetro de amortecimento (com dimensões \text{s}^{-1}).
As raízes da equação característica são s = -\gamma \pm i\omega_d com
\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2},
quando \gamma<\omega_0 (caso subamortecido). A solução geral é
x(t)=A\,e^{-\gamma t}\cos(\omega_d t+\varphi).
Da solução vê-se que a amplitude (envelope) decai exponencialmente como A(t)=A_0 e^{-\gamma t}. Essa é a expressão que liga a redução percentual da amplitude ao parâmetro \gamma.
(Observação pedagógica rápida: algumas convenções escrevem a equação com coeficiente 2\beta em vez de 2\gamma; aqui usamos a notação com 2\gamma para que o decaimento da amplitude seja exatamente e^{-\gamma t}.)

Passo 3

Determinar \gamma a partir do decaimento de amplitude dado.
A relação entre amplitudes é
A(t)=A_0 e^{-\gamma t}.
Para t=3{,}0\\ \text{s} e A(3{,}0)=0{,}20\,A_0 temos
0{,}20 = e^{-\gamma\cdot 3{,}0}.
Tomando logaritmo natural:
\ln(0{,}20) = -3{,}0\,\gamma.
Portanto
\gamma = -\frac{1}{3{,}0}\ln(0{,}20).
Agora computar numericamente (mostrando contas):
\ln(0{,}20)\approx -1{,}609437912,
\gamma \approx -\frac{1}{3{,}0}\times(-1{,}609437912)=0{,}536479304\\ \text{s}^{-1}.
Arredondando para duas casas decimais:
\gamma \approx 0{,}54\\ \text{s}^{-1}.

Passo 4

Calcular a pulsação angular do oscilador não amortecido \omega_0 a partir do período T_0.
A relação entre período e pulsação é
\omega_0=\frac{2\pi}{T_0}.
Com T_0=2{,}00\\ \text{s} obtemos
\omega_0=\frac{2\pi}{2{,}00}=\pi\\ \text{rad/s}\approx 3{,}14159265\\ \text{rad/s}.

Passo 5

Calcular a pulsação angular amortecida \omega_d.
Usa-se a fórmula (já indicada):
\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}.
Substituindo os valores numéricos:
\omega_0^2=\pi^2\approx 9{,}869604401,
\gamma^2\approx (0{,}536479304)^2\approx 0{,}287806,
\omega_d=\sqrt{9{,}869604401-0{,}287806}\approx\sqrt{9{,}581798401}\approx 3{,}095440.

Passo 6

Determinar o período do sistema amortecido T.
A relação entre período amortecido e \omega_d é
T=\frac{2\pi}{\omega_d}.
Substituindo \omega_d\approx 3{,}095440:
T\approx\frac{2\pi}{3{,}095440}\approx 2{,}03031\\ \text{s}.
Arredondando para duas casas decimais:
T\approx 2{,}03\\ \text{s}.

Passo 7

Resumo rápido e encorajamento: encontramos \gamma diretamente do decaimento exponencial da amplitude e depois usamos \omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2} para achar o período amortecido. Ótimo trabalho em acompanhar os passos — você consegue aplicar isso na prova sem dificuldade se reproduzir as fórmulas e os cálculos essenciais.

Resposta

a) \gamma = 0{,}54\\ \text{s}^{-1}
b) T = 2{,}03\\ \text{s}

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