Um sistema composto por uma massa m=9,7 \mathrm{~kg} e uma mola com constante elástica k=123 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, oscilam em um movimento harmônico subamortecido em um ambiente onde o parâmetro de amortecimento vale \gamma=2,00 s^{-1}. Determine o valor do período do movimento subamortecido. \mathrm{R}: \mathrm{T}=2,13 \mathrm{~s}

Passo 1

O enunciado dá os valores e pede o período do movimento subamortecido. Dados fornecidos:
  • m=9,7\\ \mathrm{kg}.
  • k=123\\ \mathrm{N/m}.
  • \gamma=2,00\\ \mathrm{s}^{-1}.
O que se pede: determinar o período T do movimento subamortecido.

Passo 2

Esclarecendo as fórmulas e os significados (aqui eu te explico a teoria necessária, passo a passo, como se estivéssemos resolvendo na prova).
A equação do oscilador linear com amortecimento viscoso é
m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=0,
onde:
  • x(t) é o deslocamento;
  • m é a massa ( \mathrm{kg});
  • b é o coeficiente de amortecimento (unidade \mathrm{kg/s});
  • k é a constante elástica ( \mathrm{N/m});
  • pontos representam derivadas em relação ao tempo.
Define-se o parâmetro de amortecimento \gamma por
\gamma=\frac{b}{2m},
portanto \gamma tem unidade \mathrm{s}^{-1}. A frequência angular natural (sem amortecimento) é
\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Para o caso subamortecido (quando \gamma<\omega_0), a solução é oscilatória com frequência angular amortecida
\omega_d=\sqrt{\omega_0^{2}-\gamma^{2}}.
O período das oscilações amortecidas é
T=\frac{2\pi}{\omega_d}.
Resumo prático: calcular \omega_0, verificar \gamma<\omega_0, calcular \omega_d e então T.

Passo 3

Calcular a frequência angular natural \omega_0:
\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{123}{9,7}}.
Calculando a razão:
\frac{123}{9,7}\approx 12,6804.
Tomando raiz quadrada:
\omega_0\approx\sqrt{12,6804}\approx 3,561\\ \mathrm{s}^{-1}.

Passo 4

Verificar a condição subamortecida:
\gamma=2,00\\ \mathrm{s}^{-1}\quad\text{e}\quad\omega_0\approx3,561\\ \mathrm{s}^{-1}.
Como \gamma<\omega_0, o movimento é realmente subamortecido e podemos usar \omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}.

Passo 5

Calcular a frequência angular amortecida \omega_d:
\omega_d=\sqrt{\omega_0^{2}-\gamma^{2}}=\sqrt{\frac{k}{m}-\gamma^{2}}=\sqrt{12,6804-4,00}.
Fazendo a subtração:
12,6804-4,00=8,6804.
Tomando raiz quadrada:
\omega_d\approx\sqrt{8,6804}\approx2,947\\ \mathrm{s}^{-1}.

Passo 6

Calcular o período T:
T=\frac{2\pi}{\omega_d}\approx\frac{2\pi}{2,947}.
Usando 2\pi\approx6,28319:
T\approx\frac{6,28319}{2,947}\approx2,1328\\ \mathrm{s}.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais, compatível com os dados do enunciado):
T\approx2,13\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Dica rápida para a prova: decorando as fórmulas principais
\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}},\qquad \omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2},\qquad T=\frac{2\pi}{\omega_d},
você resolve qualquer questão parecida checando sempre primeiro se \gamma<\omega_0 (para ter oscilações).

Resposta

T=2,13\\ \mathrm{s}

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