Uma massa puntiforme
parte do repouso e desliza sobre a superfície de uma esfera, sem atrito, de raio
. Meça os ângulos a partir da vertical e a energia potencial a partir do topo. Ache: a energia cinética como função do ângulo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que uma massa pontual m começa do repouso no topo de uma esfera de raio r e desliza sem atrito. A gente mede o ângulo θ a partir da vertical e define a energia potencial zero lá no topo. O que precisamos usar aqui é a conservação da energia mecânica (potencial + cinética) e um pouco de geometria para achar a altura em função de θ.
Passo 2
Primeiro, bora achar a variação da altura h relativa ao topo quando a massa desce até o ângulo θ. Se a esfera tem raio r, e o ponto se move formando um ângulo θ a partir da vertical, a distância vertical até o centro é r cos θ. No topo, essa distância era r (θ=0). Então a massa desceu uma altura
Passo 3
Agora revisamos a teoria: em ausência de atrito, a energia mecânica total se conserva. Ou seja, a perda de energia potencial vira ganho de energia cinética. A energia potencial gravitacional, definida zero no topo, a uma altura h vale
Como começou em U=0 e K=0, a variação ΔU = U(\theta) – U(0) = –mg r(1 – cos θ). Então a energia cinética K(θ) será
Resposta
A energia cinética em função do ângulo θ é