Uma massa puntiforme m parte do repouso e desliza sobre a superfície de uma esfera, sem atrito, de raio r. Meça os ângulos a partir da vertical e a energia potencial a partir do topo. Ache: a energia cinética como função do ângulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que uma massa pontual m começa do repouso no topo de uma esfera de raio r e desliza sem atrito. A gente mede o ângulo θ a partir da vertical e define a energia potencial zero lá no topo. O que precisamos usar aqui é a conservação da energia mecânica (potencial + cinética) e um pouco de geometria para achar a altura em função de θ.

Passo 2

Primeiro, bora achar a variação da altura h relativa ao topo quando a massa desce até o ângulo θ. Se a esfera tem raio r, e o ponto se move formando um ângulo θ a partir da vertical, a distância vertical até o centro é r cos θ. No topo, essa distância era r (θ=0). Então a massa desceu uma altura
h = r - rcostheta = r(1 - costheta)

Passo 3

Agora revisamos a teoria: em ausência de atrito, a energia mecânica total se conserva. Ou seja, a perda de energia potencial vira ganho de energia cinética. A energia potencial gravitacional, definida zero no topo, a uma altura h vale
U = mg,(-h) = -mg,r(1 - costheta)
Como começou em U=0 e K=0, a variação ΔU = U(\theta) – U(0) = –mg r(1 – cos θ). Então a energia cinética K(θ) será
K(theta) = -De

Resposta

A energia cinética em função do ângulo θ é
boxedK(theta) = mg,r,(1 - costheta)

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