Sejam a, b \in \mathbb{R}. Mostre que max \{a, b\}=\frac{1}{2}(a+b+|a-b|).

Passo 1

O enunciado dá que a,b\in\mathbb{R} (dois números reais) e pede para mostrar a igualdade
\max\{a,b\}=\frac{1}{2}\bigl(a+b+|a-b|\bigr).
Informações relevantes:
  • Os números a e b são quaisquer reais.
  • A função \max\{a,b\} retorna o maior entre a e b.
  • O módulo (valor absoluto) |x| é definido por partes (ver próximo passo).

Passo 2

Lembrando a definição do valor absoluto: para qualquer x\in\mathbb{R}\), \[|x|=\begin{cases} x, & \text{se } x\ge 0,\\[4pt] -x, & \text{se } x<0. \end{cases}
Aqui aplicaremos essa definição ao número x=a-b\]. Assim, ou \(a-b\ge 0 (isto é, a\ge b) ou a-b<0 (isto é, a<b). Vamos tratar essas duas possibilidades separadamente — esse é o método mais direto e elementar.]

Passo 3

Caso 1: suponha a\ge b.
Então a-b\ge 0 e, pela definição,
|a-b|=a-b.
Agora calculemos o lado direito da identidade:
\frac{1}{2}\bigl(a+b+|a-b|\bigr)=\frac{1}{2}\bigl(a+b+(a-b)\bigr).
Somando dentro dos parênteses:
a+b+(a-b)=2a.
Portanto
\frac{1}{2}\bigl(a+b+|a-b|\bigr)=\frac{1}{2}\cdot 2a=a.
Como a\ge b, temos \max\{a,b\}=a. Concluímos que, no caso a\ge b,
\max\{a,b\}=\frac{1}{2}\bigl(a+b+|a-b|\bigr).

Passo 4

Caso 2: suponha a<b.
Então a-b<0 e, pela definição,
|a-b|=-(a-b)=b-a.
Calculemos o lado direito:
\frac{1}{2}\bigl(a+b+|a-b|\bigr)=\frac{1}{2}\bigl(a+b+(b-a)\bigr).
Somando dentro dos parênteses:
a+b+(b-a)=2b.
Portanto
\frac{1}{2}\bigl(a+b+|a-b|\bigr)=\frac{1}{2}\cdot 2b=b.
Como a<b, temos \max\{a,b\}=b. Logo, no caso a<b,
\max\{a,b\}=\frac{1}{2}\bigl(a+b+|a-b|\bigr).

Passo 5

Reunindo os dois casos: quando a\ge b o lado direito vale a (igual a \max\{a,b\}) e quando a<b o lado direito vale b (igual a \max\{a,b\}). Como a e b eram quaisquer reais, a igualdade vale para todos a,b\in\mathbb{R}. Para fixar a intuição, alguns exemplos rápidos:
\text{Se }a=3,\\ b=1:\quad \frac{1}{2}(3+1+|3-1|)=\frac{1}{2}(4+2)=3=\max\{3,1\}.
\text{Se }a=2,\\ b=5:\quad \frac{1}{2}(2+5+|2-5|)=\frac{1}{2}(7+3)=5=\max\{2,5\}.

Resposta

\max\{a,b\}=\dfrac{1}{2}\bigl(a+b+|a-b|\bigr)

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