Sejam
. Mostre que max
.
Passo 1
O enunciado dá que
(dois números reais) e pede para mostrar a igualdade
Informações relevantes:
- Os números
e são quaisquer reais. - A função
retorna o maior entre e . - O módulo (valor absoluto)
é definido por partes (ver próximo passo).
Passo 2
Lembrando a definição do valor absoluto: para qualquer
Aqui aplicaremos essa definição ao número
(isto é,
) ou
(isto é,
). Vamos tratar essas duas possibilidades separadamente — esse é o método mais direto e elementar.]
Passo 3
Caso 1: suponha
.
Então e, pela definição,
Então
Agora calculemos o lado direito da identidade:
Somando dentro dos parênteses:
Portanto
Como
, temos
. Concluímos que, no caso
,
Passo 4
Caso 2: suponha
.
Então e, pela definição,
Então
Calculemos o lado direito:
Somando dentro dos parênteses:
Portanto
Como
, temos
. Logo, no caso
,
Passo 5
Reunindo os dois casos: quando
o lado direito vale
(igual a
) e quando
o lado direito vale
(igual a
). Como
e
eram quaisquer reais, a igualdade vale para todos
. Para fixar a intuição, alguns exemplos rápidos: