A matriz C está explícita (os três primeiros renglões iguais, última linha com apenas 1 na quarta coluna).
Procura-se todos os vetores X\in\mathbb{R}^4 que satisfazem \,C X = X.
Passo 2
Vamos escrever o vetor desconhecido X=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\\[4pt]x_{4}\end{pmatrix}
e traduzir a igualdade \,C X = X componente a componente. Multiplicando C por X obtemos, para as três primeiras linhas, a soma dos três primeiras coordenadas, e para a quarta linha apenas x_{4}. Assim as equações são
Da primeira equação temos \,x_{1}+x_{2}+x_{3}=x_{1}, que é equivalente a \,x_{2}+x_{3}=0.
Da segunda obtemos \,x_{1}+x_{3}=0.
Da terceira obtemos \,x_{1}+x_{2}=0.
Uma maneira mais direta e simétrica de ver isso é notar que as três primeiras equações dizem que a mesma soma \,s:=x_{1}+x_{2}+x_{3} é igual a cada uma das coordenadas:
s = x_{1},\qquad s = x_{2},\qquad s = x_{3}.
Portanto x_{1}=x_{2}=x_{3}=s. Mas como s=x_{1}+x_{2}+x_{3}=s+s+s=3s, segue
s = 3s \quad\Rightarrow\quad 2s=0 \quad\Rightarrow\quad s=0.
Logo x_{1}=x_{2}=x_{3}=0.
Passo 4
A quarta equação \,x_{4}=x_{4} não impõe restrição alguma sobre x_{4}; portanto x_{4} é uma variável livre. Denotando por t esse parâmetro livre (com t\in\mathbb{R}), as soluções são exatamente os vetores