Questão 3 (10 pontos). Resolva o sistema C X=X, onde
C=\left[\begin{array}{llll} 1 & 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear C X = X
onde C=\left[\begin{array}{llll} 1 & 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Informações dadas e o que se busca:
  • A matriz C está explícita (os três primeiros renglões iguais, última linha com apenas 1 na quarta coluna).
  • Procura-se todos os vetores X\in\mathbb{R}^4 que satisfazem \,C X = X.

Passo 2

Vamos escrever o vetor desconhecido X=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\\[4pt]x_{4}\end{pmatrix}
e traduzir a igualdade \,C X = X componente a componente. Multiplicando C por X obtemos, para as três primeiras linhas, a soma dos três primeiras coordenadas, e para a quarta linha apenas x_{4}. Assim as equações são
\begin{cases} x_{1}+x_{2}+x_{3}=x_{1},\\[4pt] x_{1}+x_{2}+x_{3}=x_{2},\\[4pt] x_{1}+x_{2}+x_{3}=x_{3},\\[4pt] x_{4}=x_{4}. \end{cases}]

Passo 3

Da primeira equação temos \,x_{1}+x_{2}+x_{3}=x_{1}, que é equivalente a \,x_{2}+x_{3}=0.
Da segunda obtemos \,x_{1}+x_{3}=0.
Da terceira obtemos \,x_{1}+x_{2}=0.
Uma maneira mais direta e simétrica de ver isso é notar que as três primeiras equações dizem que a mesma soma \,s:=x_{1}+x_{2}+x_{3} é igual a cada uma das coordenadas:
s = x_{1},\qquad s = x_{2},\qquad s = x_{3}.
Portanto x_{1}=x_{2}=x_{3}=s. Mas como s=x_{1}+x_{2}+x_{3}=s+s+s=3s, segue
s = 3s \quad\Rightarrow\quad 2s=0 \quad\Rightarrow\quad s=0.
Logo x_{1}=x_{2}=x_{3}=0.

Passo 4

A quarta equação \,x_{4}=x_{4} não impõe restrição alguma sobre x_{4}; portanto x_{4} é uma variável livre. Denotando por t esse parâmetro livre (com t\in\mathbb{R}), as soluções são exatamente os vetores
X=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]t\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Isto mostra que o espaço solução tem dimensão 1 e é gerado pelo vetor \,(0,0,0,1)^{T}.]

Resposta

\displaystyle X=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]t\end{pmatrix},\\ t\in\mathbb{R}.]

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