As massas pontuais
e
estão situadas ao longo do eixo
, com
na origem e
em
. Uma terceira massa pontual
é deslocada ao longo do eixo
. (a) Em que ponto a força gravitacional resultante sobre
em virtude das duas outras massas é igual a zero? (b) Desenhe o componente
da força resultante sobre
em virtude de
e
, supondo que as grandezas à direita sejam positivas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre três massas pontuais alinhadas no eixo $ x $. Temos uma massa $ m $ na origem (posição $ x = 0 $) e outra massa $ 2m $ em $ x = L $. A terceira massa $ M $ pode ser movida ao longo do eixo $ x $. A questão pede para:
a) Encontrar o ponto onde a força gravitacional resultante sobre $ M $ devido às duas outras massas é igual a zero.
b) Desenhar o componente $ x $ da força resultante sobre $ M $ devido a $ m $ e $ 2m $, considerando que as direções à direita são positivas.
Vamos precisar dos conceitos de Lei da Gravitação Universal de Newton e entender como as forças se cancelam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Lei da Gravitação Universal. Ela diz que duas massas se atraem com uma força que é diretamente proporcional ao produto das massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. A fórmula é:
Onde:
- $ F $ é a força gravitacional,
- $ G $ é a constante gravitacional,
- $ m_1 $ e $ m_2 $ são as massas,
- $ r $ é a distância entre as massas.
Passo 3
Vamos aplicar essa lei às duas forças que atuam sobre $ M $:
-
Força de $ m $ sobre $ M $:Onde $ x $ é a distância entre $ M $ e $ m $.
-
Força de $ 2m $ sobre $ M $:Onde $ L - x $ é a distância entre $ M $ e $ 2m $.
Passo 4
Queremos que a força resultante sobre $ M $ seja zero. Isso significa que as duas forças devem ser iguais em magnitude e opostas em direção:
Substituindo as expressões:
Passo 5
Agora, podemos simplificar a equação. Como $ G $, $ m $, e $ M $ aparecem em ambos os lados, podemos cancelá-los:
Passo 6
Vamos resolver para $ x $. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por $ x^2 (L - x)^2 $ para eliminar as frações:
Expandindo o lado esquerdo:
Passo 7
Simplificando a equação:
Rearranjando:
Passo 8
Agora, temos uma equação quadrática na forma $ ax^2 + bx + c = 0 $. Podemos resolver para $ x $ usando a fórmula quadrática:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 2L $, e $ c = -L^2 $. Substituindo:
Passo 9
Obtemos duas soluções:
- $ x = -L + L\sqrt{2} = L(\sqrt{2} - 1) $
- $ x = -L - L\sqrt{2} $
A segunda solução dá uma distância negativa, o que não faz sentido no contexto do problema. Portanto, descartamos e ficamos com:
Passo 10
Para uma melhor compreensão, podemos aproximar o valor numérico:
Sabemos que $ \sqrt{2} \approx 1,414 $, então:
Isso significa que o ponto onde a força gravitacional resultante sobre $ M $ é zero está a aproximadamente 41,4% da distância $ L $ a partir da massa $ m $ na origem.
Resposta
O ponto onde a força gravitacional resultante sobre $ M $ é igual a zero está localizado a uma distância de aproximadamente $ 0,414L $ a partir da massa $ m $ na origem.