As massas pontuais m e 2m estão situadas ao longo do eixo x, com m na origem e 2m em x=L. Uma terceira massa pontual M é deslocada ao longo do eixo x. (a) Em que ponto a força gravitacional resultante sobre M em virtude das duas outras massas é igual a zero? (b) Desenhe o componente x da força resultante sobre M em virtude de m e 2m, supondo que as grandezas à direita sejam positivas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre três massas pontuais alinhadas no eixo $ x $. Temos uma massa $ m $ na origem (posição $ x = 0 $) e outra massa $ 2m $ em $ x = L $. A terceira massa $ M $ pode ser movida ao longo do eixo $ x $. A questão pede para:
a) Encontrar o ponto onde a força gravitacional resultante sobre $ M $ devido às duas outras massas é igual a zero.
b) Desenhar o componente $ x $ da força resultante sobre $ M $ devido a $ m $ e $ 2m $, considerando que as direções à direita são positivas.
Vamos precisar dos conceitos de Lei da Gravitação Universal de Newton e entender como as forças se cancelam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Lei da Gravitação Universal. Ela diz que duas massas se atraem com uma força que é diretamente proporcional ao produto das massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. A fórmula é:
F = G m1 m2r^2
Onde:
  • $ F $ é a força gravitacional,
  • $ G $ é a constante gravitacional,
  • $ m_1 $ e $ m_2 $ são as massas,
  • $ r $ é a distância entre as massas.

Passo 3

Vamos aplicar essa lei às duas forças que atuam sobre $ M $:
  1. Força de $ m $ sobre $ M $:
    M
    Onde $ x $ é a distância entre $ M $ e $ m $.
  2. Força de $ 2m $ sobre $ M $:
    m
    Onde $ L - x $ é a distância entre $ M $ e $ 2m $.

Passo 4

Queremos que a força resultante sobre $ M $ seja zero. Isso significa que as duas forças devem ser iguais em magnitude e opostas em direção:
M
Substituindo as expressões:
Fm = F2m

Passo 5

Agora, podemos simplificar a equação. Como $ G $, $ m $, e $ M $ aparecem em ambos os lados, podemos cancelá-los:
G

Passo 6

Vamos resolver para $ x $. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por $ x^2 (L - x)^2 $ para eliminar as frações:
x
Expandindo o lado esquerdo:
x^2 (L - x)^2

Passo 7

Simplificando a equação:
L^2 - 2Lx + x^2 - 2x^2 = 0 L^2 - 2Lx - x^2 = 0
Rearranjando:
x^2 + 2Lx - L^2 = 0

Passo 8

Agora, temos uma equação quadrática na forma $ ax^2 + bx + c = 0 $. Podemos resolver para $ x $ usando a fórmula quadrática:
ax^2 + bx + c = 0
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 2L $, e $ c = -L^2 $. Substituindo:
x

Passo 9

Obtemos duas soluções:
  1. $ x = -L + L\sqrt{2} = L(\sqrt{2} - 1) $
  2. $ x = -L - L\sqrt{2} $
A segunda solução dá uma distância negativa, o que não faz sentido no contexto do problema. Portanto, descartamos e ficamos com:
x = -L + Lraiz2 = L(raiz2 - 1)

Passo 10

Para uma melhor compreensão, podemos aproximar o valor numérico:
Sabemos que $ \sqrt{2} \approx 1,414 $, então:
raiz2 approx 1,414
Isso significa que o ponto onde a força gravitacional resultante sobre $ M $ é zero está a aproximadamente 41,4% da distância $ L $ a partir da massa $ m $ na origem.

Resposta

O ponto onde a força gravitacional resultante sobre $ M $ é igual a zero está localizado a uma distância de aproximadamente $ 0,414L $ a partir da massa $ m $ na origem.

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