Supondo que 1 / 12 avos da energia mecânica inicial é dissipada no choque, calcule as velocidades após o choque.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é uma colisão unidimensional entre duas partículas de massas m e M. Antes do choque a partícula de massa m viaja com velocidade v e a de massa M está parada. Sabemos que 1/12 da energia mecânica inicial some no choque, ou seja, a energia cinética final é 11/12 da inicial. Para resolver a gente vai usar:
  1. conservação do momento linear
  2. “conservação” da energia cinética levando em conta a perda de 1/12
  3. manipular essas duas equações para achar as velocidades finais (da massa m) e (da massa M).

Passo 2

Escreve a conservação do momento linear antes e depois do choque:
m,v + Mcdot 0 = m,v1' + M,v2'
que simplifica para
m,v = m,v1' + M,v2'

Passo 3

Agora a “conservação” de energia, lembrando que sobrou só 11/12 da energia cinética inicial:
1112,l(tfrac12 m v^2r) ;=;tfrac12,m,v1'^2 ;+;tfrac12,M,v2'^2
Multiplica tudo por 2 pra ficar mais limpo:
1112,m,v^2 = m,v1'^2 + M,v2'^2

Passo 4

Isolamos v1' = v - Mm,v2' da equação de momento:
1112,m,v^2 = m!l(v - tfracMmv2'r)^2 + M,v2'^2
E substituímos na equação de energia:

Passo 5

Vamos expandir e arrumar como uma equação quadrática em ml(v - tfracMmv2'r)^2 = ml(v^2 -2Mmv,v2' + M^2m^2v2'^2r) = m,v^2 -2M,v,v2' + M^2mv2'^2 .
  1. Expansão:
m,v^2 -2M,v,v2' + l(M^2m+Mr)v2'^2 = 1112,m,v^2
  1. Somando e igualando a :
  1. Passa tudo para um lado e organiza em .

Passo 6

Resolvendo a quadrática (coeficientes v2' = m,v;pm;m,v,raiztfrac11M - m12,MM + m ) dá:
v1' = v - Mm,v2'
E daí

Resposta

As velocidades finais são
boxed v2' = m,vM+m,l(1 pm raiztfrac11M - m12,Mr) e v1' = v ;-;Mm,v2'
Você escolhe o sinal “+” ou “–” de acordo com o ramo físico (geralmente “–” para situações mais comuns).

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