As massas da Terra e do Sol são
e
, respectivamente. Supondo que a órbita da Terra é circular, determine o raio da órbita da Terra ao redor do Sol em metros. (
)
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar para resolver o problema.
Enunciado resumido: Temos as massas da Terra (
) e do Sol (
). Considerando que a órbita da Terra é circular, queremos determinar o raio dessa órbita em metros. O valor da constante gravitacional é
.
Conteúdo da matéria: Leis de Newton do movimento e da gravitação universal, especificamente relacionando a força gravitacional à força centrípeta em órbita circular.
O que vamos precisar para resolver: Entender que, em uma órbita circular, a força gravitacional entre a Terra e o Sol fornece a força centrípeta necessária para manter a Terra em órbita.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a lei da gravitação universal de Newton, que diz que a força gravitacional (
) entre dois corpos é dada por:
onde:
-
é a constante gravitacional, -
é a massa do Sol, -
é a massa da Terra, -
é a distância entre os centros dos dois corpos.
Passo 3
Em uma órbita circular, a força centrípeta necessária para manter a Terra em movimento circular é dada por:
onde:
-
é a velocidade orbital da Terra.
Passo 4
Para que a Terra permaneça em órbita circular, a força gravitacional deve ser igual à força centrípeta:
Substituindo as expressões:
Passo 5
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
Agora, precisamos de uma relação entre a velocidade orbital (
) e o período orbital (
), que é o tempo que a Terra leva para dar uma volta completa ao redor do Sol.
A velocidade orbital pode ser expressa como:
Substituindo isso na equação anterior:
Passo 7
Desenvolvendo o lado direito da equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Isolando
:
Para encontrar
, precisamos tirar a raiz cúbica dos dois lados:
Passo 9
Agora, precisamos do valor do período orbital da Terra (
). Sabemos que a Terra completa uma órbita em aproximadamente 365 dias. Vamos converter isso para segundos para manter as unidades consistentes.
Passo 10
Agora, substituímos todos os valores na fórmula para
:
Passo 11
Calculando os valores numéricos:
Primeiro, calcule
:
Depois, calcule
:
Multiplicando
:
Dividindo por
:
Passo 12
Agora, tiramos a raiz cúbica para encontrar
:
Resposta
O raio da órbita da Terra ao redor do Sol é aproximadamente
metros.