As massas da Terra e do Sol são 5,98 times 10^24 kg e 1,99 times 10^30 kg, respectivamente. Supondo que a órbita da Terra é circular, determine o raio da órbita da Terra ao redor do Sol em metros. ( G=6,67 times 10^-11 N cdot m^2 / kg^2 )

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar para resolver o problema.
Enunciado resumido: Temos as massas da Terra ( 5,98 times 10^24 , kg) e do Sol ( 1,99 times 10^30 , kg). Considerando que a órbita da Terra é circular, queremos determinar o raio dessa órbita em metros. O valor da constante gravitacional é G = 6,67 times 10^-11 , N cdot m^2/kg^2.
Conteúdo da matéria: Leis de Newton do movimento e da gravitação universal, especificamente relacionando a força gravitacional à força centrípeta em órbita circular.
O que vamos precisar para resolver: Entender que, em uma órbita circular, a força gravitacional entre a Terra e o Sol fornece a força centrípeta necessária para manter a Terra em órbita.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a lei da gravitação universal de Newton, que diz que a força gravitacional ( Fgrav) entre dois corpos é dada por:
Fgrav = G M mr^2
onde:
  • G é a constante gravitacional,
  • M é a massa do Sol,
  • m é a massa da Terra,
  • r é a distância entre os centros dos dois corpos.

Passo 3

Em uma órbita circular, a força centrípeta necessária para manter a Terra em movimento circular é dada por:
Fcent = m v^2r
onde:
  • v é a velocidade orbital da Terra.

Passo 4

Para que a Terra permaneça em órbita circular, a força gravitacional deve ser igual à força centrípeta:
Fgrav = Fcent
Substituindo as expressões:
G M mr^2 = m v^2r

Passo 5

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por m:
G Mr^2 = v^2r
Multiplicando ambos os lados por r:
G Mr = v^2

Passo 6

Agora, precisamos de uma relação entre a velocidade orbital ( v) e o período orbital ( T), que é o tempo que a Terra leva para dar uma volta completa ao redor do Sol.
A velocidade orbital pode ser expressa como:
v = 2 pi rT
Substituindo isso na equação anterior:
G Mr = ( 2 pi rT )^2

Passo 7

Desenvolvendo o lado direito da equação:
G Mr = 4 pi^2 r^2T^2
Multiplicando ambos os lados por r:
G M = 4 pi^2 r^3T^2

Passo 8

Isolando r^3:
r^3 = G M T^24 pi^2
Para encontrar r, precisamos tirar a raiz cúbica dos dois lados:
r = ( G M T^24 pi^2 )^13

Passo 9

Agora, precisamos do valor do período orbital da Terra ( T). Sabemos que a Terra completa uma órbita em aproximadamente 365 dias. Vamos converter isso para segundos para manter as unidades consistentes.
T = 365 , dias times 24 , horas/dia times 60 , minutos/hora times 60 , segundos/minuto = 3,1536 times 10^7 , segundos

Passo 10

Agora, substituímos todos os valores na fórmula para r:
r = ( 6,67 times 10^-11 , N cdot m^2/kg^2 times 1,99 times 10^30 , kg times (3,1536 times 10^7 , s)^24 pi^2 )^13

Passo 11

Calculando os valores numéricos:
Primeiro, calcule G times M:
G M = 6,67 times 10^-11 times 1,99 times 10^30 = 1,327 times 10^20 , m^3/s^2
Depois, calcule T^2:
T^2 = (3,1536 times 10^7)^2 = 9,95 times 10^14 , s^2
Multiplicando G M times T^2:
G M T^2 = 1,327 times 10^20 times 9,95 times 10^14 = 1,321 times 10^35 , m^3
Dividindo por 4 pi^2:
G M T^24 pi^2 = 1,321 times 10^3539,48 approx 3,349 times 10^33 , m^3

Passo 12

Agora, tiramos a raiz cúbica para encontrar r:
r = ( 3,349 times 10^33 )^13 approx 1,496 times 10^11 , m

Resposta

O raio da órbita da Terra ao redor do Sol é aproximadamente 1,496 times 10^11 metros.

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