Mastre que f(x, y, z)=\operatorname{sen}(3 x+y z) é solução da equação
\frac{\partial^{3} f}{\partial y \partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial x}=(3-9 z) \cos (3 x+y z)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=\sin(3x+yz)
e pede para verificar que
\frac{\partial^{3} f}{\partial y\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial x}=(3-9z)\cos(3x+yz).
Para isso vamos usar repetidamente a regra da cadeia.

Passo 2

Calcular a derivada parcial de f em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{d}{dx}\sin(3x+yz) =\cos(3x+yz)\,\frac{\partial}{\partial x}(3x+yz) =3\cos(3x+yz).

Passo 3

Calcular a segunda derivada parcial de f em relação a x:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3\cos(3x+yz)\bigr) =-3\sin(3x+yz)\,\frac{\partial}{\partial x}(3x+yz) =-9\sin(3x+yz).

Passo 4

Calcular a derivada mista \partial^{3}f/(\partial y\,\partial x^{2}):
\frac{\partial^{3} f}{\partial y\partial x^{2}} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-9\sin(3x+yz)\bigr) =-9\cos(3x+yz)\,\frac{\partial}{\partial y}(3x+yz) =-9z\cos(3x+yz).

Passo 5

Somar as duas parcelas obtidas:
\frac{\partial^{3} f}{\partial y\partial x^{2}} +\frac{\partial f}{\partial x} =-9z\cos(3x+yz)+3\cos(3x+yz) =(3-9z)\cos(3x+yz).
Isso coincide exatamente com o lado direito da equação dada.

Resposta

Portanto, f(x,y,z)=\sin(3x+yz) satisfaz
\frac{\partial^{3} f}{\partial y\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial x}=(3-9z)\cos(3x+yz),
logo é solução da equação proposta.

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