Esboce algumas curvas de nível de h(x, y)=4 x^{2}+y^{2}+1 e depois represente a superfície.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) esboçar as curvas de nível de
h(x,y)=4x^2+y^2+1
e (ii) esboçar a superfície z=h(x,y).
O conteúdo é reconhecimento de curvas de nível (níveis de contorno) e classificação da superfície. Para isso vamos igualar h(x,y) a constantes e identificar a forma geométrica resultante.

Passo 2

Curva de nível de ordem c vem de
h(x,y)=c \quad\Longrightarrow\quad 4x^2+y^2+1=c \quad\Longrightarrow\quad 4x^2+y^2=c-1.
Como c deve ser maior que 1 (senão o lado direito fica negativo), cada curva 4x^2+y^2=c-1 é uma elipse centrada em (0,0).

Passo 3

Para visualizar, escolha três valores típicos de c, digamos c=2, c=5 e c=10.
  • Se c=2 então 4x^2+y^2=1, ou seja
\frac{x^2}{\tfrac14}+\frac{y^2}{1}=1,
elipse com semi-eixo em x de comprimento \tfrac12 e em y de comprimento 1.
  • Se c=5 então 4x^2+y^2=4, ou seja
\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{4}=1,
semi-eixos 1 em x e 2 em y.
  • Se c=10 então 4x^2+y^2=9, ou seja
\frac{x^2}{\tfrac94}+\frac{y^2}{9}=1,
semi-eixos \tfrac32 em x e 3 em y.

Passo 4

No plano xy você desenha elipses concêntricas, todas centradas em (0,0). Conforme c cresce, a elipse se alarga mais no eixo y (porque ali o coeficiente é menor) e menos no eixo x. Esse conjunto de elipses é o esboço das curvas de nível.

Passo 5

Para a superfície, note que
z = h(x,y) = 4x^2+y^2+1
é um paraboloide elíptico “erguido” de modo que:
— Cortes em planos y=\text{constante} são parábolas z=4x^2+(\,\text{const}\,)^{2}+1.
— Cortes em planos x=\text{constante} são parábolas z=x^{2}\cdot4+(y^{2})+1.
Então, no espaço, temos um “bowl” elíptico voltado para cima, cujo vértice fica em (0,0,1).

Resposta

As curvas de nível são as elipses
4x^2+y^2=c-1,\quad c>1,
por exemplo para c=2,5,10 obtemos elipses com semi-eixos (\tfrac12,1), (1,2) e (\tfrac32,3).
A superfície é o paraboloide elíptico de equação
z=4x^2+y^2+1,
com vértice em (0,0,1) e abrindo para cima.

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