Esboce algumas curvas de nível de
e depois represente a superfície.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) esboçar as curvas de nível de
e (ii) esboçar a superfície
.
O conteúdo é reconhecimento de curvas de nível (níveis de contorno) e classificação da superfície. Para isso vamos igualar a constantes e identificar a forma geométrica resultante.
O conteúdo é reconhecimento de curvas de nível (níveis de contorno) e classificação da superfície. Para isso vamos igualar
Passo 2
Curva de nível de ordem
vem de
Como
deve ser maior que
(senão o lado direito fica negativo), cada curva
é uma elipse centrada em
.
Passo 3
Para visualizar, escolha três valores típicos de
, digamos
,
e
.
- Se
então , ou seja
elipse com semi-eixo em
de comprimento
e em
de comprimento
.
- Se
então , ou seja
semi-eixos
em
e
em
.
- Se
então , ou seja
semi-eixos
em
e
em
.
Passo 4
No plano
você desenha elipses concêntricas, todas centradas em
. Conforme
cresce, a elipse se alarga mais no eixo
(porque ali o coeficiente é menor) e menos no eixo
. Esse conjunto de elipses é o esboço das curvas de nível.
Passo 5
Para a superfície, note que
é um paraboloide elíptico “erguido” de modo que:
— Cortes em planos são parábolas
.
— Cortes em planos são parábolas
.
Então, no espaço, temos um “bowl” elíptico voltado para cima, cujo vértice fica em .
— Cortes em planos
— Cortes em planos
Então, no espaço, temos um “bowl” elíptico voltado para cima, cujo vértice fica em
Resposta
As curvas de nível são as elipses
por exemplo para
obtemos elipses com semi-eixos
,
e
.
A superfície é o paraboloide elíptico de equação
A superfície é o paraboloide elíptico de equação
com vértice em
e abrindo para cima.