Se f(x, y)=\operatorname{sen}\left(\frac{x}{1+y}\right), determine:
f y.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\operatorname{sen}\!\Bigl(\frac{x}{1+y}\Bigr)
e pede a derivada parcial de f em relação a y, ou seja, f_{y}=\frac{\partial f}{\partial y}. Para isso, vamos usar a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x,y)=\frac{x}{1+y},
de modo que f(x,y)=\operatorname{sen}(u). Pela regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial y} =\cos\bigl(u(x,y)\bigr)\,\frac{\partial u}{\partial y}.

Passo 3

Calculamos a derivada de u em relação a y. Como
u(x,y)=x\,(1+y)^{-1},
temos
\frac{\partial u}{\partial y} =x\cdot(-1)\,(1+y)^{-2} =-\frac{x}{(1+y)^{2}}.

Passo 4

Substituindo em \frac{\partial f}{\partial y}=\cos(u)\,\frac{\partial u}{\partial y}, obtemos
f_{y} =\cos\!\Bigl(\frac{x}{1+y}\Bigr) \;\Bigl(-\frac{x}{(1+y)^{2}}\Bigr) =-\frac{x\,\cos\!\bigl(\frac{x}{1+y}\bigr)}{(1+y)^{2}}.

Resposta

f_{y}=-\frac{x\,\cos\!\bigl(\frac{x}{1+y}\bigr)}{(1+y)^{2}}.

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