Se f(x, y)=\operatorname{sen}\left(\frac{x}{1+y}\right), determine:
f_{x}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{x}{1+y}\bigr)
e pede a derivada parcial de f em relação a x, ou seja, f_{x}.
Para isso vamos usar a regra da cadeia, pois f é a composição de u(x,y)=\tfrac{x}{1+y} com \operatorname{sen}(u).

Passo 2

Defina
u(x,y)=\frac{x}{1+y},
de modo que
f(x,y)=\operatorname{sen}\bigl(u(x,y)\bigr).
Pela regra da cadeia,
f_{x}(x,y) =\cos\bigl(u(x,y)\bigr)\,\frac{\partial u}{\partial x}.
Agora calculamos
\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\!\Bigl(\frac{x}{1+y}\Bigr) =\frac{1}{1+y},
pois 1+y é tratado como constante em relação a x.

Resposta

f_{x}(x,y) =\frac{1}{1+y}\,\cos\!\Bigl(\frac{x}{1+y}\Bigr).

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