Matemática Aplicada à Engenharia - 3^a Prova
Nome/RA:
4. (2.5 Pontos) Coeficientes Polinomiais
Sabendo que x(0)=0, obtenha UMA solução da equação diferencial ordinária a seguir
t x^prime prime(t)-2 x^prime(t)+t x(t)=0

Passo 1

O enunciado pede uma solução da EDO
t,x''(t)-2,x'(t)+t,x(t)=0
com a condição inicial x(0)=0.
Para resolver, vamos transformar a equação num tipo conhecido de equação de Bessel, usando o método de Frobenius: escolhemos
x(t)=t^alphau(t)
de modo a eliminar o termo em u'(t) e obter uma equação de Bessel para u(t).

Passo 2

Substituindo x(t)=t^alphau(t) em t,x''-2,x'+t,x=0 e coletando em potências de t, chegamos a
t^2,u''(t)+2(alpha-1)t,u'(t)+l[alpha(alpha-3)+t^2r],u(t)=0
Para reduzir ao formato padrão
t^2u''+tu'+(t^2-nu^2)u=0
devemos ter 2(alpha-1)=1, isto é alpha=3/2. Então o coeficiente constante fica alpha(alpha-3)=-9/4, e a equação torna-se
t^2u''+t,u'+l(t^2-tfrac94r)u=0,
que é a equação de Bessel de ordem nu=3/2.

Passo 3

A solução geral para u é
u(t)=C1J3/2(t)+C2Y3/2(t),
logo a solução geral da EDO original é
x(t)=t^3/2l[C1J3/2(t)+C2Y3/2(t)r]
Como Y3/2(t) diverge em t=0, a condição x(0)=0 exige C2=0. Mantemos então
x(t)=C,t^3/2J3/2(t)

Passo 4

Usando a fórmula em termos de funções elementares
J3/2(t) =raiz2pi tl(sin tt-cos tr),
vem
x(t) =C,t^3/2,raiz2pi t l(sin tt-cos tr) =C,raiz2pil(sin t-tcos tr)
Escolhendo C=raizpi/2 (ou simplesmente C=1, pois qualquer constante dá outra solução), obtemos a forma mais simples
x(t)=sin t - tcos t,
e de fato x(0)=0.

Resposta

boxedx(t)=sin t - tcos t

Exercícios relacionados