Matemática Aplicada à Engenharia -
Prova
Nome/RA:
4. (2.5 Pontos) Coeficientes Polinomiais
Sabendo que
, obtenha UMA solução da equação diferencial ordinária a seguir
Nome/RA:
4. (2.5 Pontos) Coeficientes Polinomiais
Sabendo que
Passo 1
O enunciado pede uma solução da EDO
com a condição inicial
.
Para resolver, vamos transformar a equação num tipo conhecido de equação de Bessel, usando o método de Frobenius: escolhemos
Para resolver, vamos transformar a equação num tipo conhecido de equação de Bessel, usando o método de Frobenius: escolhemos
de modo a eliminar o termo em
e obter uma equação de Bessel para
.
Passo 2
Substituindo
em
e coletando em potências de
, chegamos a
Para reduzir ao formato padrão
devemos ter
, isto é
. Então o coeficiente constante fica
, e a equação torna-se
que é a equação de Bessel de ordem
.
Passo 3
A solução geral para
é
logo a solução geral da EDO original é
Como
diverge em
, a condição
exige
. Mantemos então
Passo 4
Usando a fórmula em termos de funções elementares
vem
Escolhendo
(ou simplesmente
, pois qualquer constante dá outra solução), obtemos a forma mais simples
e de fato
.