Em matemática, um conjunto é fechado em relação a uma dada operação quando o resultado dessa operação em elementos desse conjunto é ainda um elemento desse conjunto. Por exemplo, os números reais são fechados na subtração, mas os números naturais não são: 3 e 7 são ambos números naturais, mas o resultado de 3-7 não pertence ao conjunto dos naturais. Sobre isso responda justificando:
Os números irracionais são fechados na subtração?
Os números irracionais são fechados na subtração?
Passo 1
O enunciado quer saber se o conjunto dos números irracionais é fechado em relação à operação de subtração. Em outras palavras, precisamos verificar se, para quaisquer irracionais
e
, o número
também é irracional. Para isso, vamos usar o conceito de fechamento e buscar um contraexemplo.
Passo 2
Lembrete do conceito de fechamento: um conjunto
é fechado sob uma operação
se, sempre que
e
, tivermos
. Aqui
é o conjunto dos irracionais e a operação é a subtração. Assim, para mostrar que não há fechamento, basta encontrar
e
irracionais tais que
seja racional.
Passo 3
Vamos escolher um par simples de números irracionais. Por exemplo, tome
Ambos são irracionais, pois não podem ser escritos como razão de inteiros.
Passo 4
Calculamos a diferença:
O resultado
é um número racional (é igual a
).
Passo 5
Como encontramos
tais que
, concluímos que o conjunto dos irracionais não é fechado sob subtração.
Resposta
Não. Os irracionais não são fechados na subtração, pois
, que é racional.