Em matemática, um conjunto é fechado em relação a uma dada operação quando o resultado dessa operação em elementos desse conjunto é ainda um elemento desse conjunto. Por exemplo, os números reais são fechados na subtração, mas os números naturais não são: 3 e 7 são ambos números naturais, mas o resultado de 3-7 não pertence ao conjunto dos naturais. Sobre isso responda justificando:
Os números irracionais são fechados na subtração?

Passo 1

O enunciado quer saber se o conjunto dos números irracionais é fechado em relação à operação de subtração. Em outras palavras, precisamos verificar se, para quaisquer irracionais a e b, o número a - b também é irracional. Para isso, vamos usar o conceito de fechamento e buscar um contraexemplo.

Passo 2

Lembrete do conceito de fechamento: um conjunto S é fechado sob uma operação circ se, sempre que xin S e yin S, tivermos xcirc yin S. Aqui S é o conjunto dos irracionais e a operação é a subtração. Assim, para mostrar que não há fechamento, basta encontrar a e b irracionais tais que a - b seja racional.

Passo 3

Vamos escolher um par simples de números irracionais. Por exemplo, tome
a = raiz2, b = raiz2
Ambos são irracionais, pois não podem ser escritos como razão de inteiros.

Passo 4

Calculamos a diferença:
a - b = raiz2 - raiz2 = 0
O resultado 0 é um número racional (é igual a 0/1).

Passo 5

Como encontramos a,binRsetminusQ tais que a - binQ, concluímos que o conjunto dos irracionais não é fechado sob subtração.

Resposta

Não. Os irracionais não são fechados na subtração, pois raiz2-raiz2=0, que é racional.

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