Em matemática, um conjunto é fechado em relação a uma dada operação quando o resultado dessa operação em elementos desse conjunto é ainda um elemento desse conjunto. Por exemplo, os números reais são fechados na subtração, mas os números naturais não são: 3 e 7 são ambos números naturais, mas o resultado de 3-7 não pertence ao conjunto dos naturais. Sobre isso responda justificando:
Os números naturais são fechados na divisão?
Os números naturais são fechados na divisão?
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto dos números naturais, que chamaremos de
é fechado sob a operação de divisão. Lembrando que “fechado” significa que, para quaisquer
com
, o quociente
deve pertencer a
.
Passo 2
Formulamos a condição de fechamento em divisão:
Para a propriedade valer, não pode haver nenhum par
que gere um quociente fora de
.
Passo 3
Basta encontrar um contraexemplo. Tomemos
Ambos estão em
, mas
não pertence a
.
Passo 4
Como existe pelo menos um par
cujo quociente não fica em
, concluímos que
não é fechado sob divisão.
Resposta
Não. Os naturais não são fechados na divisão, pois, por exemplo,
.