Em matemática, um conjunto é fechado em relação a uma dada operação quando o resultado dessa operação em elementos desse conjunto é ainda um elemento desse conjunto. Por exemplo, os números reais são fechados na subtração, mas os números naturais não são: 3 e 7 são ambos números naturais, mas o resultado de 3-7 não pertence ao conjunto dos naturais. Sobre isso responda justificando:
Os números naturais são fechados na divisão?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto dos números naturais, que chamaremos de
N = 1,2,3,dots,
é fechado sob a operação de divisão. Lembrando que “fechado” significa que, para quaisquer a,b in N com b neq 0, o quociente tfracab deve pertencer a N.

Passo 2

Formulamos a condição de fechamento em divisão:
forall,a,binN,;bneq0Longrightarrow abinN
Para a propriedade valer, não pode haver nenhum par (a,b) que gere um quociente fora de N.

Passo 3

Basta encontrar um contraexemplo. Tomemos
a = 1, b = 2
Ambos estão em N, mas
12 = 0,5
não pertence a N.

Passo 4

Como existe pelo menos um par (a,b)inN^2 cujo quociente não fica em N, concluímos que N não é fechado sob divisão.

Resposta

Não. Os naturais não são fechados na divisão, pois, por exemplo, tfrac12notinN.

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