Em matemática, um conjunto é fechado em relação a uma dada operação quando o resultado dessa operação em elementos desse conjunto é ainda um elemento desse conjunto. Por exemplo, os números reais são fechados na subtração, mas os números naturais não são: 3 e 7 são ambos números naturais, mas o resultado de 3-7 não pertence ao conjunto dos naturais. Sobre isso responda justificando:
Os números naturais ímpares são fechados na adição?

Passo 1

O enunciado pede para verificarmos se o conjunto dos números naturais ímpares é fechado na operação de adição. Aqui o conteúdo é a noção de fechamento de um conjunto sob uma operação e a aritmética de paridade.

Passo 2

Representamos genericamente dois naturais ímpares por
a = 2k + 1, b = 2m + 1,
onde k e m são naturais.

Passo 3

Somando a e b temos
a + b = (2k+1)+(2m+1) = 2k + 2m + 2 = 2,(k+m+1)

Passo 4

O resultado 2,(k+m+1) é um número natural par, pois é múltiplo de 2. Logo a+b não pertence ao conjunto dos ímpares.

Resposta

Não. A soma de dois números naturais ímpares é sempre um número par, logo sai do conjunto dos ímpares e mostra que ele não é fechado sob adição.

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